什么是解函数的至高境界？

什么是解函数的至高境界？

学会数形结合很重要，数学的至高境界就是能够“数亦是形，形亦是数”。

如题：

设函数f(x)=根号（x^2+1)-ax(其中a>0)
1、解不等式f(x)小于等于1
2、求a的取值范围使函数f(x)在区间[0,正无穷)上是单调函数

解：sqr(x)=x^(1/2)(根号下x)
设y=sqr(x^2+1)
两边同时平方得y^2-x^2=1(y>=0)为一等轴双曲线的上半支
画出图形
设y=ax+1为一恒过点(0,1)的直线
画出图形
原不等式的几何意义为直线高于双曲线的部分及其交点
由图可以看出两曲线必交与点(0,1)
由于双曲线的渐近线斜率为1，-1
因此讨论当a>=1时
解集为[0，+无穷)（这叫做：“看图说话”）
当0<a<1时
ax+1=sqr(x^2+1)
解出另一个交点的横坐标2a/(1-a^2)
解集为[0，2a/(1-a^2)]
f'(x)=(x/(x^2+1))-a
由于x>=0
f'(x)=(1/(1+1/x^2))-a<（放缩法）1-a<0 能够恒成立
因此a>1，f(x)恒为减函数

呵呵。。。让别人帮忙做！

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