设函数f（x）=ex-ln（x+1）．（Ⅰ）求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）已知0≤x1＜x2．求证：ex2?x1＞lne(x2+1

设函数f（x）=ex-ln（x+1）．（Ⅰ）求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）已知0≤x1＜x2．求证：ex2?x1＞lne(x2+1)x1+1；（Ⅲ）设g（x）=ex-xx+1lnx-f（x），证明：对任意的正实数a，总能找到实数m（a），使g[m（a）]＜a成立．注：e为自然对数的底数．

（Ⅰ）f′（x）=ex?
1
x+1 ；
∴-1＜x＜0时，
1
e ＜ex＜1，
1
x+1 ＞1，∴f′（x）＜0；
x＞0时，ex＞1，0＜
1
x+1 ＜1，∴f′（x）＞0，∴x=0时，f（x）取到最小值1．
（Ⅱ）由题意知：x2-x1＞0；
∴f（x2-x1）＞f（0），即e(x2?x1)?ln(x2?x1+1)＞1，即e(x2?x1)＞lne(x2?x1+1)；
∴要使：e(x2?x1)＞ln
e(x2+1)
x1+1 ，我们来证lne(x2?x1+1)＞ln
e(x2+1)
x1+1 ；即证x2?x1+1＞
x2+1
x1+1 ；
∵x2?x1+1?
x2+1
x1+1 ＝
x1(x2?x1)
x1+1 ＞0；
∴ex2?x1＞ln
e(x2+1)
x1+1 ．
（Ⅲ）∵g（x）=
lnx
x+1 +ln(1+
1
x )；
令x=2n，则g（2n）=
ln2n
2n+1 +ln(1+
1
2n )，(n∈N*)；
要使：g（2n）＜a，只要
ln2n
2n ＜
a
2 ，且ln(1+
1
2n )＜
a
2 ；
由ln(1+
1
2n )＜
a
2 ，解得n＞?log2(e
a
2 ?1)；
又当n＞1时，
ln2n
2n+1 ＝
nln2
(1+1)n+1 ＜
2nln2
n(n?1) ＝
2ln2
n?1 ；
故只需
2ln2
n?1 ＜
a
2 ，即n＞
4ln2
a +1；
设n0＝max2，?log2(e
a
2 ?1)，
4ln2
a +1；
只需取m（a）=2n0+1时，g（m（a））＜a．

同问。。。

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