已知函数f(x)=xlnx,g(x)=k(x-1) （I）若f(x)≥g(x)恒成立，求实数k的值

若方程f'(x)=g'(x的根为x0)。
（II）若方程f(x)=g(x)有一根为x1（x1>1）已知函数f(x)=xlnx,g(x)=k(x-1)
（I）若f(x)≥g(x)恒成立，求实数k的值;x0=k?若存在，求出所有满足条件的k值；若不存在，是否存在实数k，使x1/

k=1，做函数F（x）=xlnx-k(x-1)，对其求道可得F‘（x）=lnx+1-k，可以知道F（x）在e^(k-1)为最小值，又因为x=1时候F（x）=0，所以只能e^(k-1)=1，所以k=1

（ⅰ）注意到函数f（x）的定义域为（0，+∞）， 所以f（x）≥g（x）恒成立，等价于 f(x) x ≥ g(x) x 恒成立， 设h（x）=lnx- k(x?1) x （x＞0）， 则h′（x）= x?k x2 ，------------（2分） 当k≤0时，h′（x）＞0对x＞0恒成立，所以h（x）是（0，+∞）上的增函数， 注意到h（1）=0，所以0＜x＜1时，h（x）＜0不合题意．-------（4分） 当k＞0时，若0＜x＜k，h′（x）＜0；若x＞k，h′（x）＞0． 所以h（x）是（0，k）上的减函数，是（k，+∞）上的增函数， 故只需h（x）min=h（k）=lnk-k+1≥0．--------（6分） 令u（x）=lnx-x+1（x＞0），u′（x）= 1?x x ， 当0＜x＜1时，u′（x）＞0； 当x＞1时，u′（x）＜0． 所以u（x）是（0，1）上的增函数，是（1，+∞）上的减函数． 故u（x）≤u（1）=0当且仅当x=1时等号成立． 所以当且仅当k=1时，h（x）≥0成立，即k=1为所求．--------（8分） （ⅱ）由（ⅰ）知当k≤0或k=1时，f（x）=g（x），即h（x）=0仅有唯一解x=1，不合题意； 当0＜k＜1时，h（x）是（k，+∞）上的增函数，对x＞1，有h（x）＞h（1）=0， 所以f（x）=g（x）没有大于1的根，不合题意．---------（8分） 当k＞1时，由f′（x）=g′（x）解得x0=ek-1，若存在x1=kx0=kek-1， 则lnk-1+e1-k=0， 令v（x）=lnx-1+e1-x，v′(x)＝ ex?ex xex ， 令s（x）=ex-ex，s′（x）=ex-e，当x＞1时，总有s′（x）＞0， 所以s（x）是（1，+∞）上的增函数，即s（x）=ex-ex＞s（1）=0， 故v′（x）＞0，v（x）在（1，+∞）上是增函数， 所以v（x）＞v（1）=0，即lnk-1+e1-k=0在（1，+∞）无解． 综上可知，不存在满足条件的实数k．----------------------（12分）

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