已知函数f（x）=ex（ax+1）（其中e为自然对数的底，a∈R为常数）．（I）讨论函数f（x）的单调性；（II）

已知函数f（x）=ex（ax+1）（其中e为自然对数的底，a∈R为常数）．（I）讨论函数f（x）的单调性；（II）当a=1时，设g（x）=f（lnx）-x，求g（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；（Ⅲ）已知2^1x＞xm对任意的x∈（0，1）恒成立，求实数m的取值范围．

（I）f′（x）=ex[ax+（a+1）]…1
①．当a=0时，f′（x）=ex  在R上递增…2   
②．当a＞0时，（-∞，-
a+1
a ）上递减，（-
a+1
a ，+∞）递增…3
③．当a＜0时，（-∞，-
a+1
a ）上递增，（-
a+1
a ，+∞）递减…4
（II）g（x）=xlnx，g′（x）=1+lnx…5   
g（x）在（0，
1
e ）上递减，在（
1
e ，+∞）上递增…6
①．当0＜t≤
1
e 时，t+2＞
1
e ．gmin（x）=g（
1
e ）=
1
e ln
1
e =-
1
e …7   
②．当t＞
1
e 时，gmin（x）=g（t）=tlnt…8
（III）∵2 
1
x ＞xm＞0，所以ln2 
1
x ＞lnxm，得m＞
ln2
xlnx …10  
令y=
ln2
xlnx ，y′=
?ln22(1+lnx)
(xlnx)2 …11
在（0，
1
e ）递增，在（
1
e ，+∞）递减．
所以ymax=-eln2….12   
所以：m＞-eln2…..13

解：（ i）当a=1时，f（x）=（x2-2x+1）•e-x， f'（x）=（2x-2）•e-x-（x2-2x+1）•e-x=-（x-1）（x-3）•e-x 所以，当a=1时，函数f（x）的极小值为f（1）=0，极大值为f（3）=4e-3 （ ii）f'（x）=（2ax-2）•e-x-（ax2-2x+1）•e-x=-e-x[ax2-2ax-2x+3] 令g（x）=ax2-2（a+1）x+3 ①若a=0，则g（x）=-2x+3，在（-1，1）内，g（x）＞0， 即f'（x）＜0，函数f（x）在区间[-1，1]上单调递减． ②若a＞0，则g（x）=ax2-2（a+1）x+3，其图象是开口向上的抛物线，对称轴为x=a+1a＞1， 当且仅当g（1）≥0，即0＜a≤1时，在（-1，1）内g（x）＞0，f'（x）＜0， 函数f（x）在区间[-1，1]上单调递减． ③若a＜0，则g（x）=ax2-2（a+1）x+3，其图象是开口向下的抛物线， 当且仅当g(-1)≥0g(1)≥0，即- -5/3≤a＜0时，在（-1，1）内g（x）＞0，f'（x）＜0， 函数f（x）在区间[-1，1]上单调递减． 综上所述，函数f（x）在区间[-1，1]上单调递减时，a的取值范围是-5/3≤a≤1．

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