已知数列{an}满足a1=1，nan+1=（n+1）an+cn（n+1）（c为常数）（1）证明：{ann}是等差数列；（2）问是否

已知数列{an}满足a1=1，nan+1=（n+1）an+cn（n+1）（c为常数）（1）证明：{ann}是等差数列；（2）问是否存在正整数p、q（p±q）使ap=aq成立？若存在，请写出C满足的条件，若不存在，说明理由．（3）设bn＝(12)nan，若当n≥4，数列{bn}为递数列，试求c的最小值．

（1）∵nan+1=（n+1）an+cn（n+1）
∴
an+1
n+1 ＝
an
n +c，即
an+1
n+1 ?
an
n ＝c
从而数列{
an
n }是首项为1，公差为c的等差数列
（2）若要使存在正整数p，q（p≠q）使ap=aq成立，
则p+p（p-1）c=p+q（q-1）c
∴p+q=1-
1
c ，又p+q≥3
令p+q=k（k∈N且k≥3），则c=
1
1?k （k∈N且k≥3）．
（3）bn＝(
1
2 )nan＝
cn2+(1?c)n
2n
∵数列{bn}为递减数列
∴bn+1?bn＝
c(n+1)2+(1?c)(n+1)
2n+1 ?
cn2+(1?c)n
2n
=
?c(n+1)2+(3c?1)n+1
2n+1 ＜0对任意的n∈N*恒成立
∴-cn2+（3c-1）n+1＜0，即c（3n-n2）＜n-1①
当n=1时，由①得c＜0
当n=2时，由①得c＜
1
2
当n=3时，由①得c∈R
当n≥4时，c＞
n?1
3n?n2
设f（x）=
x?1
3x?x2 (x≥4)，则f′（x）=
x2?2x+3
(3x?x2)2 ＝
(x?1)2+2
(3x?x2)2 ＞0
∴f（x）在[4，+∞）上是增函数，从而-
3
4 ≤f(x)＜0
∴c≥0
综上可知，满足条件的实数c不存在．

a(2)=2+2c a(3)=3+6c a(n)=n[1+(n-1)c] a(k)=k[1+(k-1)c] ka(k+1)=(k+1)a(k)+ck(k+1)=(k+1)k(1+kc) a(k+1)=(k+1)(1+kc) a(n)/n=1+(n-1)c p[1+(p-1)c]=q[1+(q-1)c] c=(q-p)/[(q-p)(1-q-p)]=1/(1-q-p)

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