（2） 用分别写有数字1、3、7、8的四张卡片可以排出24个不同的四位数，其中可以被

（2） 用分别写有数字1、3、7、8的四张卡片可以排出24个不同的四位数，其中可以被22整除的四位数有几个？各是多少？

能被22整除，即同时能被11和2整除
能被2整除即为偶数，所以1378中只有8能做个位数
能被11整除的数的特征：奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除
即要把1378分为2组，每组2个数，每组数字和的差能被11整除即可
因此只可以分为13和78这2组<(7+8)-(1+3)=11>
因为8作为个位数，所以78这2个数字为偶数位数字，则13为奇数位数字
因此得到以下数：1738 3718 只有2个

1，用分别写有数字的四张卡片：1、2、3、4.可以排出不同的四位数，如1234，1342.。。共24个，其中能被22整除的四位数之和：（10912） 先写出有几个不同的四位数 1234，1243，1342，1324，1423，1432 2134，2143，2314，2341，2431，2413 3124，3142，3214，3241，3421，3412 4123，4132，4213，4231，4312，4321 再一个个除以22 1342，2134，3124，4312

2，证：在圆周上按逆时针顺序以1号为起点记运动服号码数为a1，a2，a3，…，a18，a19(图11)，显然a1=1，而a2，a3，…，a18，a19就是2，3，4，5，6，…，18，19的一个排列 令a1=a2+a3+a4 a2=a5+a6+a7 a3=a8+a9+a10 a4=a11+a12+a13 a5=a14+a15+a16 a7=a17+a18+a19 则a1+a2+a3+a4+a5+a6 =a2+a3+a4+…+a17+a18+a19 =2+3+4+…+17+18+19 =189 如果a1，a2，a3，a4，a5，a6中每一个都≤31，则有a1+a2+a3+a4+a5+a6≤6×31=186，与(*)式矛盾．所以a1，a2，a3，a4，a5，a6中至少有一个大于31．为确定起见，不妨就是a1＞31，即a2+a3+a4＞31，但a2+a3+a4是整数，所以必有a2+a3+a4≥32成立．即一定有顺次相邻的某三名运动员，他们运动服号码数之和不小于32．

3，解：显然 ax2=49-by2， by2=49-ax2 ax3=49x-bxy2， by3=49y-ax2y 相加得 133=ax3+by3=49(x+y)-xy(ax+by) 即 49(x+y)-7xy=133 7(x+y)-xy=19 ① 同理 ax3=133-by3，by3=133-ax3 ax4=133x-bxy3，by4=133y-ax3y 相加得 406=ax4+by4=133(x+y)-xy(ax2+by2) 即 133(x+y)-49xy=406 19(x+y)-7xy=58 ② 由①、②联立，设x+y=u，xy=v 得 7u-v=19 19u-7v=58,解得 u=2.5，v=-1.5 即 x+y=2.5，xy=-1.5 由 ax=7-by，by=7-ax 得 ax2=7x-bxy，by2=7y-axy 相加得49=ax2+by2=7(x+y)-xy(a+b) 所以 1.5(a+b)=49-7×2.5 ∴ a+b=21 此时即可求得 1995（x+y）+6xy-17/2(a+b) =1995*2.5+6*[-1.5]-8.5*21 =4800

4，（ 1）用12块 3×3地板砖与6块 2×2地板砖能铺成12× 11的长方形地面．

如图9的铺设方案．用4个 12×11的图8所示的板块，恰用 1块1×1地板砖，可以铺满 23×23的正方形地面．

（2）将23× 23的大正方形分成23行23列共计 529个1×1的小方格，再将第 1行，第4行，第7行，第 10行，第13行，第16行，第 19行，第22行这八行染红色，其余的15行都染白色，如图 10所示．

任意2×2或 3×3的小正方块无论怎样放置（边线与大正方形格线重合），每块 2×2或3× 3的正方块都将盖住偶数块1×1的白色小方格．

假设用2×2及 3×3的正方形地板砖可以铺满23× 23后正方形地面，则它们盖住的白色1×1的小方格总数为偶数个．然而 23×23地面染色后共有23× 15（奇数）个1×1的白色小方格，矛盾．

所以，只用2×2， 3×3两种型号地板砖无论如何铺设，都不能铺满 23×23的正方形地面而不留空隙．

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