数学数列证明题

一个2n+1项的整数数列，它们全部相等的充分必要条件是满足条件P,条件P为任意取出2n个数，都存在一种划分方法，使得两堆数每堆含有n个数，并且这两堆数的和相等

必要性显然成立

充分性令n=1就可以了

Sn=p^n S(n-1)=p^(n-1) S(n+1)=p^(n+1) S(n-1)S(n+1)=p^(n-1)p^(n+1)=p^2n (Sn)^2=p^2n (Sn)^2=S(n-1)S(n+1) 数列是等比数列

必要性是显然的。 证充分性：原数列为A1,A2,...A(2n+1).取出第i项 剩下2n项分成2组 使得2组的和相等 则构造一个列向量Xi 有Xi第i个分量是0 ，其他的分量k，如果k项在第1组，则是是1，在第二组则是-1.令矩阵 B=（X1,X2...X（2n+1)) 则B的对角元为0，其他元素是1或-1. 令A=（A1,A2...A(2n+1))则 AB=0则A为B的特征值为0的特征向量 又设B的特征多项式为 F（X) 则F(X)模2约化为 E(X） 由于F是首一的 所以 E中因子X的重数>=F中因子X的重数 又E为 A模2约化后的特征多项式。 A模2约化后 除对角元为0 其他元都为1.则 F=DET(X-A)=(X-2n-1+1)(X+1)^(2n)=X(X+1)^(2n) 所以 F中因子X的重数为1，所以E中因子X的重数<=1所以B的特征0的子空间的维数<=1 又（1，1。。。1）B=0 所以 （1，1。。。1）与A属于B的特征0的子空间，所以线性相关，所以A的所有分量相等，即数列为常数。 好像也有不用矩阵的证明，任何整数数列如果满足这个条件则，则每项同时加上一个常数也满足条件（而且常数列当且仅当减了之后是常数列），所以不妨设A1=0，又若数列中每个都是偶数，则同时除2也满足条件，所以若不全为0，我们可以除充分多次2，使一个元素是奇数，则不妨设则个元素是A2。若所有数的和是奇数，则除去A1，其他项和是奇数矛盾，若所有和是偶数，则除去A2后，其他和式奇数，矛盾。所以若A1=0则全为0，所以数列为常数

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