若函数f（x）=x-1-alnx（a＜0）对任意x1，x2∈（0，1]，都有|f（x1）-f（x2）|≤4|1x1-1x2|，则实数a的取
答案:2 悬赏:20 手机版
解决时间 2021-02-12 04:25
- 提问者网友：暮烟疏雨之际
- 2021-02-11 09:34
若函数f（x）=x-1-alnx（a＜0）对任意x1，x2∈（0，1]，都有|f（x1）-f（x2）|≤4|1x1-1x2|，则实数a的取值范围是______．
最佳答案
- 五星知识达人网友：舍身薄凉客
- 2021-02-11 09:53
当a＜0时，f′（x）＞0恒成立，此时，函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，
又函数y=
1
x 在（0，1]上是减函数
不妨设0＜x1≤x2≤1
则|f（x1）-f（x2）|=f（x2）-f（x1），
∴|f（x1）-f（x2）|≤4|
1
x1 -
1
x2 |，
即f（x2）+4×
1
x2 ≤f（x1）+4×
1
x1
设h（x）=f（x）+
4
x =x-1-alnx+
4
x ，
则|f（x1）-f（x2）|≤4|
1
x1 -
1
x2 |，等价于函数h（x）在区间（0，1]上是减函数
∵h'（x）=1-
a
x -
4
x2 =
x2?ax?4
x2 ，∴x2-ax-4≤0在（0，1]上恒成立，
即a≥x-
4
x 在（0，1]上恒成立，即a不小于y=x-
4
x 在（0，1]内的最大值．
而函数y=x-
4
x 在（0，1]是增函数，∴y=x-
4
x 的最大值为-3
∴a≥-3，
又a＜0，∴a∈[-3，0）．
故答案为：[-3，0）．
又函数y=
1
x 在（0，1]上是减函数
不妨设0＜x1≤x2≤1
则|f（x1）-f（x2）|=f（x2）-f（x1），
∴|f（x1）-f（x2）|≤4|
1
x1 -
1
x2 |，
即f（x2）+4×
1
x2 ≤f（x1）+4×
1
x1
设h（x）=f（x）+
4
x =x-1-alnx+
4
x ，
则|f（x1）-f（x2）|≤4|
1
x1 -
1
x2 |，等价于函数h（x）在区间（0，1]上是减函数
∵h'（x）=1-
a
x -
4
x2 =
x2?ax?4
x2 ，∴x2-ax-4≤0在（0，1]上恒成立，
即a≥x-
4
x 在（0，1]上恒成立，即a不小于y=x-
4
x 在（0，1]内的最大值．
而函数y=x-
4
x 在（0，1]是增函数，∴y=x-
4
x 的最大值为-3
∴a≥-3，
又a＜0，∴a∈[-3，0）．
故答案为：[-3，0）．
全部回答
- 1楼网友：罪歌
- 2021-02-11 10:44
f(x)=x-1-alna,求其导数为f(x)'=1-a/x，因为00,f(x)为递增函数，同样，函数y(x)=1/x也是递增函数。
假设：0〈x1
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