求函数f(x,y)=xy(a-x-y)的极值(a#0)

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解决时间 2021-02-09 02:18

提问者网友：却不属于对方
2021-02-08 22:01

最佳答案

五星知识达人网友：青尢
2021-02-08 22:06

解：
f'x=y(a-2x-y)=0, 得y=0, 或y=a-2x
f'y=x(a-x-2y)=0, 得x=0, 或x=a-2y
驻点有(0, 0), (0, a), (a, 0), (a/3, a/3)
A=f"xx=-2y
B=f"xy=a-2x-2y
C=f"yy=-2x
B²-AC=(a-2x-2y)²-4xy
当x=0或y=0时，有B²-AC>0, 不是极值点，因此只需判断驻点：
(a/3, a/3), A=C=-2a/3, B=-a/3, B²-AC=-a²/3<0, 因此它为极值点，当a>0时为极大值，当a<0时为极小值。
所以极值为f(a/3, a/3)=a³/27。

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1楼网友：等灯
2021-02-09 00:03

f'x=y(a-2x-y)=0, 得y=0, 或y=a-2x f'y=x(a-x-2y)=0, 得x=0, 或x=a-2y 解得驻点有(0, 0), (0, a), (a, 0), (a/3, a/3) A=f"xx=-2y B=f"xy=a-2x-2y C=f"yy=-2x B²-AC=(a-2x-2y)²-4xy 当x=0或y=0时，有B²-AC>0, 不是极值点，因此只需判断驻点： (a/3, a/3), A=C=-2a/3, B=-a/3, B²-AC=-a²/3<0, 因此它为极值点，当a>0时为极大值，当a<0时为极小值。极值为f(a/3, a/3)=a³/27。

2楼网友：愁杀梦里人
2021-02-08 23:25

这是一个二元导数，大学教材中有详细说明。中学期间也可以基本不等式求得在特定情况下的最值。

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