已知函数f(x)=(a-1/2)x2+lnx(a∈R)，若在区间（1,+∞）上，函数f(x)图像恒在直线y=2ax下方，求a的取值范围。

已知函数f(x)=(a-1/2)x2+lnx(a∈R)，若在区间（1,+∞）上，函数f(x)图像恒在直线y=2ax下方，求a的取值范围。

解答：

当区间（1,+∞）上，函数f(x)f(x)=(a-1/2)x2+lnx图像恒在直线y=2ax下方，

即求在区间（1,+∞）上，2ax>(a-1/2)x2+lnx

移项得：2ax-2a+1>lnx，即要求在区间（1,+∞）上，y=2ax-2a+1的值要恒大于y=lnx

由两条方程的图像可得知，要y=2ax-2a+1的值要恒大于y=lnx，必须a>0，

设与lnx图像相切且平行于y=2ax-2a+1的直线L=2ax+b,

将lnx开导得出：1/x，所以求得L与lnx的切点为：1/2a,-ln2a

所以b=-ln2a-1,要y=2ax-2a+1的值要恒大于y=lnx，

即要-2a+1>-ln2a-1，最后得出0<a<或等于1

解由题意得（a-1/2)x2+lnx<2ax在区间（1,+∞）上恒成立即转化为(x^2-2x)a>(1/2x2-lnx)成立转化为讨论系数正负除过来求函数的最值。

由题　意有x>1时,)(a-1/2)x^2+lnx<2ax

代为　　（a-1/2)(x-1/(a-1/2))^2-1/(a-1/2)-lnx<0

上式在ｘ>1时恒成立，由于x>1时，x^2>lnx,

故a-1/2<1

a<3/2

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