一道高一函数证明题求解

已知函数f(x)对于任意实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)，且当x>0时，f(x)>0，求证：f(x)在R上是增函数。

设任意实数x₁,x₂,且x₁＜x₂
则有：f(x₂)-f(x₁)=f(x₂)+[-f(x₁)]=f(x₂)+f(-x₁)=f(x₂-x₁)
由已知条件，x＞0时,有f(x)>0；
现在x₂-x₁＞0，所以得到f(x₂-x₁)＜0,
即f(x₂)-f(x₁)＜0，由于x₁＜x₂，且都是实数。
f(x)在R上是增函数。

证明：

∵f(x+y)=f(x)+f(y)

∴当y=1时，f(x+1)=f(x)+f(1)

∴f(x+1)-f(x)=f(1)

∵当x＞0时，f(x)＞0

∴f(1)＞0

∴f(x+1)-f(x)＞0

∴f(x)在R上是增函数

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