对于函数y=f（x）与常数a，b，若f（2x）=af（x）+b恒成立，则称（a，b）为函数f（x）的一个“P数对”；若

对于函数y=f（x）与常数a，b，若f（2x）=af（x）+b恒成立，则称（a，b）为函数f（x）的一个“P数对”；若f（2x）≥af（x）+b恒成立，则称（a，b）为函数f（x）的一个“类P数对”．设函数f（x）的定义域为R + ，且f（1）=3．
（1）若（1，1）是f（x）的一个“P数对”，求f（2 n ）（n∈N*）；
（2）若（-2，0）是f（x）的一个“P数对”，且当x∈[1，2）时f（x）=k-|2x-3|，求f（x）在区间[1，2 n ）（n∈N*）上的最大值与最小值；
（3）若f（x）是增函数，且（2，-2）是f（x）的一个“类P数对”，试比较下列各组中两个式子的大小，并说明理由．
①f（2 -n ）与2 -n +2（n∈N*）；
②f（x）与2x+2（x∈（0，1]）．

（1）若（1，1）是f（x）的一个“P数对”，即f（2x）=f（x）+1恒成立，整理f（2x）-f（x）=1，令x=2 k ，则f（2 k+1 ）-f（2 k ）=1，
所以f（2），f（4），f（8），…f（2 n ）构成公差为1的等差数列，
令x=1得f（2）=f（1）+1=4，所以f（2 n ）=4+（n-1）×1=n+3
（2）当x∈[1，2）时f（x）=k-|2x-3|，令x=1，则f（1）=k-1=3，解得k=4，即当x∈[1，2）时f（x）=4-|2x-3|，所以f（x）在[1，2）上的取值范围是[3，4]，
又（-2，0）是f（x）的一个“P数对”，即f（2x）=-2f（x）恒成立，当x∈[2 k-1 ，2 k ）（k∈N*）时，
x
2 k-1 ∈[1，2）
f（x）=-2f（
x
2 ）=4f（
x
4 ）=…=（-2） k-1 f（
x
2 k-1 ），
故当k为奇数时，f（x）在[2 k-1 ，2 k ）上的取值范围是[3×2 k-1 ，2 k+1 ]
当k为偶数时，f（x）在[2 k-1 ，2 k ）上的取值范围是[-2 k+1 ，-3×2 k-1 ]
所以当n=1时，f（x）在区间[1，2 n ）上的最大值为4，最小值为3．
当n为不小于3的奇数时，f（x）在区间[1，2 n ）上的最大值为2 n+1 ，最小值为-2 n
n为不小于2的偶数时，f（x）在区间[1，2 n ）上的最大值为2 n ，最小值为-2 n+1 ．
（3）（2，-2）是f（x）的一个“类P数对”，可知f（2x）≥2f（x）-2恒成立．即f（x） ≤
1
2 f（2x）+1恒成立．
令x=
1
2 k ，则得f（
1
2 k ）≤
1
2 f(
1
2 k-1 )+1
即 f(
1
2 k ) -2 ≤
1
2 [f(
1
2 k-1 )-2] 对一切k∈N*恒成立．
所以 f(
1
2 n )-2 ≤
1
2 [f(
1
2 n-1 )-2] ≤
1
4 [f(
1
2 k-2 )-2] ≤… ≤
1
2 n [f(1)-2] =
1
2 n 故f（2 -n ）≤2 -n +2（n∈N*）；
若x∈（0，1]），则必存在n∈N*，使得∈（
1
2 n ，
1
2 n-1 ]，由f（x）是增函数，故f（x）≤f（
1
2 n-1 ）≤
1
2 n-1 +2
又2x+2＞2×
1
2 x +2=
1
2 x-1 +2，故有f（x）＜2x+2

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