函数f（x）=sin2x+2（sinx+cosx）+3（x属于R）的值域

函数f（x）=sin2x+2（sinx+cosx）+3（x属于R）的值域

∵(sinx+cosx)^2
=(sinx)^2+(cosx)^2+2sinxcosx(sinx+cosx)^2
=1+2sinxcosx
sin2x=(sinx+cosx)^2-1
∴f（x）=sin2x+2（sinx+cosx）+3
=(sinx+cosx)^2-1+2(sinx+cosx)+3
=(sinx+cosx)^2+2(sinx+cosx)+2
令t=sinx+cosx,
sinx+cosx=√2sin(x+π/4)
则t∈[-√2,√2]
y=t^2+2t+2,t∈[-√2,√2]
t=-1 (对称轴t=-1)时,y=1
t=√2时,y=4+2√2,
t=-√2时,y=4-2√2,
所以值域为y∈[1,4+2√2]

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