勒贝格积分的积分介绍

勒贝格积分的积分介绍

积分是“和”的概念。即将东西加起来。所以积分早期是从面积，路程等计算中发展起来。比如计算面积，将X轴的区间分成若干小区间，将小区间的高度（Y值）乘以小区间的长度，然后加起来。用极限法就可以求得精确的面积。这是传统的积分概念（黎曼积分）。勒贝格从另一个角度来考虑积分概念，导致勒贝格积分和测度概念。比如计算面积，可以将小区间的高度（Y值）乘以对应的所有小区间的长度的和（测度），然后加起来。又比如现有硬币：25， 25，10，5，10，1，5，25。用黎曼积分来求和：25+25+10+5+10+1+5+25=106。用勒贝格积分来求和：25*3+10*2+5*2+1=106。结果是一样的。但对于一些“坏”函数，结果是不一样的。
比如在X轴[0，1]闭区间上定义函数：
Y=1，当X是有理数；
Y=0，当X是无理数。
求该函数覆盖的面积。
黎曼积分无法定义，因为任意小的区间都包含无理数和有理数。
用勒贝格积分来求和： 1*0+0*1 = 0。
[0，1]闭区间的长度（测度）是1；有限点集的长度（测度）是0；无限可数点集（如，有理数）的长度（测度）是0。而[0，1]闭区间的长度（测度） = 有理数集的长度 + 无理数集的长度。
所以，[0，1]闭区间的无理数集的长度（测度） 是1。这就解释了上述计算结果。
还有物理学里面常见的狄拉克δ函数，Riemann积分下是不可积的，在L积分意义下它有着最初物理学家所定义的性质。
由此可见，勒贝格积分比黎曼积分广义。但必须指出，勒贝格积分无法完全代替黎曼积分，问题出在L可积函数具有绝对可积的性质，导致条件收敛的黎曼广义可积函数不是L可积函数。

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