高中数学题目．急！！

已知直角三角形的周长为４，求这个直角三角形面积的最大值．并求此时各边的长．

解:可设直角三角形的两直角边为a.b.斜边为c.利用勾股定理.得:
a2+b2=c2
a+b+c=4
由a+b+c=4得:4-c=a+b.两边同时平方.得:
16-8c+c2=a2+b2+2ab
16-8c+c2=c2+2ab
16-8c=2ab≤a2+b2=c2 ·········①
整理得:
c2+8c≥16
c2+8c+16≥32
(c+4)2≥32
因为c＞0.所以解得:c≥4√2-4.
由①知:ab=8-4c.所以:
面积S=1/2×ab=1/2×(8-4c)=4-2c.
可以看出.要使面积S最大.则c必须最小.由上知.斜边c的最小值为c=4√2-4.则面积的最大值为:
S最大=4-2×(4√2-4)=12-8√2
注:上面借助了基本不等式:2ab≤a2+b2.它由(a-b)2≥0展开即得.由此可知原直角三角形为等腰直角三角形时.它的面积才是最大.√表示二次根号.`4√2-4`表示`4倍的根号2.再减去4`.
由此知.当原直角三角形面积最大时.此时为等腰直角三角形.所以有:a=b.而c=4√2-4.a+b+c=4.从而求得:a=b=4-2√2.c=4√2-4.

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