求高数特解问题

y³y″+1=0 ，x=1 y=1，x=1 y′=0；求此微分方程的特解 求详细步骤

设 y′=p 则 y″=p(dp/dy ) y³y″+1=0 化成 y³p(dp/dy)+1=0 pdp=-1/y³ · dy
两边积分得 (p^2)/2=y^(-2)/2+C1
即 y′ ^2= 1/y^2 +C1 代入 x=1 y=1，x=1 y′=0 得 y′ ^2= 1/y^2 -1 或 y′ =√(1-y^2)/y
∫ydy/√[1-y^2]=∫dx -√(1-y^2)=x+C x=1 y=1，C=-1 -√(1-y^2)=x-1
(x-1)^2+y^2=1 为此微分方程的特解

一阶线性微分方程 直接套用公式 先等式两边同除以1+x^2 得 y'-2xy/(1+x^2) =1 利用公式 y=e^(-∫p(x)dx)(∫q(x)e^（∫p(x)dx）dx+c) 本题中 p(x)=-2x/(1+x^2) q(x)=1 可得y=e^(-∫-2x/(1+x^2) dx)(∫1e^（∫-2x/(1+x^2) dx）dx+c) 即 y=e^(ln(1+x^2))(arctanx+c) =(1+x^2) (arctanx+c) （这是通解，c是常数）

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