高三数学问题、迅速求解。

1、椭圆x方/4+y方=1
过动点A(4,m)，做椭圆两条切线AP,AQ，切点分别为Q，P。
证：直线PQ过定点，并求出定点坐标。

2、an=(2^n)/[(2^n)+1]
证a1+a2+……+an＞n方/（n+1）

定点（1，0）
请参照图片

设过A的直线为y=k(x-4)+m 设两个切点坐标为（x1,y1)(x2,y2),两条切线斜率为k1,k2 与椭圆方程联立 （4k^2+1)x^2-(32k^2-8km)x+4(16k^2-8km+m^2)-4=0 △=0=12k^2-8km+m^2-1 所以k1+k2=2m/3 k1k2=m^2-1/12 再设y=k0x+b 与椭圆联立方程 (4k^2+1)x^2+8kbx+4b^2-4=0 所以可以得到x1+x2以及x1x2(由于式子太过墨迹，省略） 可以得到k1=y1-m/x1-4 k2=y2-m/x2-4 于是可以联立方程 k1+k2以及k1k2（过程省略） 最终得到经过点一般解析几何由于过于复杂，你可以通过带特殊值来求值 最后祝愿你能成功解开吧，不是我会不会得问题，而是现在其实解析几何的解答只有到了大学用微积分才能简单解开（也很墨迹）~~所以你自己好好算吧~~

解：（1）抛物线x² = -12y的焦点为(0，-3)，也是椭圆的一个顶点（短轴顶点），所以设椭圆方程x² /a² + y² /b² = 1（a > b > 0），可知b = 3，且离心率e = c/a = 1/2 => a = 2c，因为a² = b² + c² => 4c² = 9 + c² => 3c² => 9 => c² = 3 => c = √3 => a = 2c = 2√3 => 椭圆c的方程为x² /12 + y² /9 = 1 ； （2）过点m(m，0)的直线l与椭圆c相切(m < -2√3)，所以直线l的斜率存在，设直线l的方程为y = k(x – m)，与椭圆c的方程3x² + 4y² = 36联立可得3x² + 4k²(x – m)² = 36 => (4k² + 3)x² – 8k²mx + 4k²m² – 36 = 0 => δ= 64k⁴m² – 4(4k² + 3)(4k²m² – 36) = 16[4k⁴m² - (4k² + 3)(k²m² – 9)] = 16(3k²m² – 27 – 36k²) = 48(k²m² – 9 – 12k²) = 0 => (m² – 12)k² = 9 => k² = 9/(m² – 12) ； 直线l：y = k(x – m) 与y轴交于点n(0，-km)，所以sδomn = (1/2)*(-m)*|-km| = (m²/2)|k| => s² = k²m⁴/4 = (9/4)*[m⁴/(m² – 12)] = (9/4)*[(m² – 12)² + 24(m² – 12) + 144]/(m² – 12) = (9/4)*[(m² – 12) + 24 + 144/(m² – 12)] ≥ (9/4)*{2√[(m² – 12)* 144/(m² – 12)] + 24} = (9/4)*48 = 108，（当且仅当(m² – 12) = 144/(m² – 12)，即(m² – 12)² = 144，(m² – 12) = 12，m² = 24，m = -2√6时取等号）。所以当m = -2√6时，三角形omn的面积有最小值，最小值为√108 = 6√3 。

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