某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元～1000万元的投资收益．现准备制定一个对科研

某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元～1000万元的投资收益．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%．（Ⅰ）若建立函数模型制定奖励方案，试用数学语言表述公司对奖励函数模型的基本要求；（Ⅱ）现有两个奖励函数模型：（1）y=x150+2；（2）y=4lgx-3．试分析这两个函数模型是否符合公司要求？

（Ⅰ）设奖励函数模型为y=f（x），则公司对函数模型的基本要求是：
当x∈[10，1000]时，①f（x）是增函数；②f（x）≤9恒成立；③f(x)≤
x
5 恒成立．（3分）
（Ⅱ）（1）对于函数模型f(x)＝
x
150 +2：
当x∈[10，1000]时，f（x）是增函数，则f(x)max＝f(1000)＝
1000
150 +2＝
20
3 +2＜9．
所以f（x）≤9恒成立．（5分）
因为函数
f(x)
x ＝
1
150 +
2
x 在[10，1000]上是减函数，所以[
f(x)
x ]max＝
1
150 +
1
5 ＞
1
5 ．
从而
f(x)
x ＝
1
150 +
2
x ≤
1
5 ，即f(x)≤
x
5 不恒成立．
故该函数模型不符合公司要求．（8分）

（2）对于函数模型f（x）=4lgx-3：
当x∈[10，1000]时，f（x）是增函数，则f（x）max=f（1000）=4lg1000-3=9．
所以f（x）≤9恒成立．（10分）
设g（x）=4lgx-3-
x
5 ，则g′(x)＝
4lge
x ?
1
5 ．
当x≥10时，g′(x)＝
4lge
x ?
1
5 ≤
2lge?1
5 ＝
lge2?1
5 ＜0，
所以g（x）在[10，1000]上是减函数，从而g（x）≤g（10）=-1＜0．
所以4lgx-3-
x
5 ＜0，即4lgx-3＜
x
5 ，所以f(x)＜
x
5 恒成立．
故该函数模型符合公司要求．（13分）

（1）设奖励函数模型为y=f（x），则公司对函数模型的基本要求是： 当x∈[10，1000]时，①f（x）是增函数；②f（x）≤9恒成立；③f（x）≤ x 5 恒成立． 对于函数模型f（x）= x 150 +2：当x∈[10，1000]时，f（x）是增函数，则f（x）max=f（1000）= 1000 150 +2= 20 3 +2＜9 所以f（x）≤9恒成立． 因为x=10时，f（10）= 1 15 +2＞ 10 5 ，所以，f（x）≤ x 5 不恒成立． 故该函数模型不符合公司要求； （2）对于函数模型f（x）= 10x?3a x+2 ，即f（x）=10- 3a+20 x+2 当3a+20＞0，即a＞- 20 3 时递增， 为要使f（x）≤9对x∈[10，1000]时恒成立，即f（1000）≤9 ∴3a+18≥1000，∴a≥ 982 3 为要使f（x）≤ x 5 对x∈[10，1000]时恒成立，即 10x?3a x+2 ≤ x 5 ，∴x2-48x+15a≥0恒成立，∴a≥ 192 5 综上，a≥ 982 3 ，所以满足条件的最小的正整数a的值为328．

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