两个函数可导则其复合函数可导吗？求证明过程

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解决时间 2021-02-20 16:07

提问者网友：风月客
2021-02-19 17:24

具体过程

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五星知识达人网友：玩家
2021-02-19 18:17

设f(x),g(x)是两个可导的函数，来证明f(g(x))可导。
这个要按导数的定义来证明，导数的定义是f'(x)=lim[f(x+Δx)-f(x)]/Δx,
[f(g(x))]'=lim[f(g(x+Δx)-f(g(x))]/Δx. 令Δt=g(x+Δx)-g(x)
所以有lim[f(g(x+Δx)-f(g(x))]/Δx=lim{[f(g(x+Δx)-f(g(x))]/Δt}(Δt/Δx) [就是分子分母同时乘以Δt]
limΔt/Δx=lim[g(x+Δx)-g(x)]/Δx=g'(x),lim{[f(g(x+Δx)-f(g(x))]/Δt}=f'(t),其中t=g(x)
上述两个极限存在，所以极限lim[f(g(x+Δx)-f(g(x))]/Δx=lim{[f(g(x+Δx)-f(g(x))]/Δt}(Δt/Δx)存在，也就是f(g(x))可导，且按上述推导过程可知[f(g(x))]'=f'(t)g'(x)=f'(g(x))g'(x)，即复合函数的求导法则。

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1楼网友：三千妖杀
2021-02-19 18:29

两个函数可导则其复合函数可导。设f(x)，g(x)是两个可导的函数据导数的定义：f'(x)=lim[f(x+δx)-f(x)]/δx, [f(g(x))]'=lim[f(g(x+δx)-f(g(x))]/δx. 令δt=g(x+δx)-g(x) 所以 lim[f(g(x+δx)-f(g(x))]/δx=lim{[f(g(x+δx)-f(g(x))]/δt}(δt/δx) limδt/δx=lim[g(x+δx)-g(x)]/δx=g'(x),lim{[f(g(x+δx)-f(g(x))]/δt}=f'(t),其中t=g(x) 上述两个极限存在，所以极限lim[f(g(x+δx)-f(g(x))]/δx=lim{[f(g(x+δx)-f(g(x))]/δt}(δt/δx)存在，即f(g(x))可导。参考资料两个函数可导则其复合函数可导吗？.作业帮[引用时间2018-4-4]

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