已知x²-x-1=0，则x的四次方+2x+1/x²=？

已知x²-x-1=0，则x的四次方+2x+1/x²=？

立方和公式：　　a^3 + b^3 = (a+b) (a^2-ab+b^2)
∵ x²-x-1 =0
∴x^3 +1 = (x+1)(x²-x-1) = 0
∴(x^3+1)^2 = x^6 + 2x^3 + 1 = x^2(x^4 + 2x+ 1/(x^2)) = 0
∴ x^4 + 2x+ 1/(x^2) = 0   （x^2 = 0 代入x²-x-1=0 不成立，所以舍去）

x²-x-1=0，则 x1= (1 +√5)/2,x=(1-√ 5)/2 x²=x+1, x -1/x=1, x² +1/x²=3, x4=x²+2x+1, x的四次方+2x+1/x²=x²+2x+1+2x+1/x²=4x+4=4(x+1)=4x² . 则x的四次方+2x+1/x²=6+2√5或6-2√5

x^4+2x+1/x^2=(x^2+1/x)^2

x^2-x-1=0,因X不能为0.，左右同除x得x-1/x-1=0

上式与x^2-x-1联立得x^2+1/x=2x

所以(x^2+1/x)^2=(2x)^2

x^2-x-1=0求根得x=(1±√5)/2

∴原式=(2x)^2=6±2√5

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