已知数列{an}中，a1=1，且nan+1=（n+2）an，（n∈N*），则a2=______，an=n(n+1)2n(n+1)2

已知数列{an}中，a1=1，且nan+1=（n+2）an，（n∈N*），则a2=______，an=n(n+1)2n(n+1)2．

令n=1，则a2=3a1=3．
由nan+1=（n+2）an，（n∈N*），可得
an+1
an ＝
n+2
n ．
∴an=
an
an?1 ?
an?1
an?2 ?
an?2
an?3 ?…?
a2
a1 ?a1
=
n+1
n?1 ?
n
n?2 ?
n?1
n?3 ?…?
3
1 ?1
=
n(n+1)
2 ．
故答案分别为3，
n(n+1)
2 ．

1)2a(n+2)=an+a(n+1)

∴2[a(n+2)-a(n+1)]=an-a(n+1)=-[a(n+1)-an]

bn=a(n+1)-an,  ∴2b(n+1)=-bn, 即b(n+1)/bn=-1/2

∴{bn}是等比数列

2)b1=a2-a1=2-1=1, {bn}是首项为1,公比为-1/2的等比数列

∴bn=1*(-1/2)^(n-1)

∴a(n+1)-an=(-1/2)^(n-1)

∴an-a(n-1)=(-1/2)^(n-2),

   a(n-1)-a(n-1)=(-1/2)^(n-3)

   ……

   a2-a1=(-1/2)^0

上面各式叠加得 an-a1=(-1/2)^0+……+(-1/2)^(n-3)+(-1/2)^(n-2)

    =[1-(-1/2)^(n-1)]/(1+1/2)=(2/3)[1-(-1/2)^(n-1)]

∴an=a1+(2/3)[1-(-1/2)^(n-1)]=5/3-(2/3)*(-1/2)^(n-1)=5/3+(1/3)*(-1/2)^(n-2)

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