已知M(1,0)N(-1,0),P在直线2x-y-1=0上(1)求丨PM丨+丨PN丨的最小值
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解决时间 2021-02-10 12:03
- 提问者网友：心如荒岛囚我终老
- 2021-02-10 04:04
已知M(1,0)N(-1,0),P在直线2x-y-1=0上(1)求丨PM丨+丨PN丨的最小值
最佳答案
- 五星知识达人网友：三千妖杀
- 2021-02-10 05:26
设点M关于直线的对称点为M'(m,n),则
MM'中点在直线上：2·(m+1)/2-(n+0)/2-1＝0；
MM'垂直于直线：(n-0)/(m-1)＝-1/2.
两式联立可解得: m＝1/5, n＝2/5，即M'为(1/5,2/5).
联结M'N, 则M'N为|PM|+|PN|的最小值：
(|PM|+|PN|)min＝√[(1/5+1)^2+(2/5-0)^2]＝(2√10)/5。
MM'中点在直线上：2·(m+1)/2-(n+0)/2-1＝0；
MM'垂直于直线：(n-0)/(m-1)＝-1/2.
两式联立可解得: m＝1/5, n＝2/5，即M'为(1/5,2/5).
联结M'N, 则M'N为|PM|+|PN|的最小值：
(|PM|+|PN|)min＝√[(1/5+1)^2+(2/5-0)^2]＝(2√10)/5。
全部回答
- 1楼网友：猎心人
- 2021-02-10 06:53
设所求点坐标为p(x,y),则|pm|²+|pn|²=[(x-1)^2+y^2]+[(x+1)^2+y^2]=2x^2+2y^2+2.
由于p在直线2x-y-1=0上，则y=2x-1.代入上式中得：
|pm|²+|pn|²=2x^2+2(2x-1)^2+2=10x^2-8x+4=10(x-2/5)^2+12/5≥12/5
故最小值为12/5，此时所求p点坐标为（2/5,-1/5）.
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