1.已知三平面的方程分别为 π1 :λx+y+3z=8, π2:2x+y+2z=6， π3:3x+

1.已知三平面的方程分别为 π1 :λx+y+3z=8, π2:2x+y+2z=6， π3:3x+

解：三个平面的法向量依次为：n1={λ,1,3};  n2={2,1,2}; n3={3,2,3}; 当三个法向量矢积不为0时，三个平面相交于一点；如果为0，则没有公共交点。当只有两个法向量内积为第三法向量的m倍时，则相当于两个平行平面与一个平面相交；得到的是两条直线；如果两个平行平面重合，则三平面就变为两个平面相交为一条直线。如果三个平面平行，则没有公共交点和交线。具体做题如下：
(1) n1xn2xn3=λ(1*3-2*2)+1*(2*3-2*3)+3(2*2-1*3)=-λ+0+1=-λ+3≠0; λ≠3。u为一切实数。
(2) λ=3时，三个平面没有公共的交点。但可以有两条公共的交线。u为一切实数。
(3) λ=3,D=0；Dx=8*(1*3-2*2)+1*(2*u-3*6)+3*(6*2-1*u)=-8+18-u=10-u
Dy=3(6*3-2u)+8*(2*3-2*3)+3(2u-6*3)=18-6u+0+6u-3*18=0;
Dz=3*(1u-6*2)+1(6*3-2u)+8(2*2-1*3)=u-3*12+18+8=-u-10=0。当:u=10时, Dz=0；
因为：n2·n3={2*3,1*2,2*3}={6,2,6}=2{3,1,3}=2n1; 所以，π1就是与多余的平行平面方程，
直线方程就是π2与π3所组成的平面方程组：2x+y+2z=6和3x+2y+3z=10；

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