一道关于广义逆矩阵的证明题
答案:1 悬赏:20 手机版
解决时间 2021-11-24 06:13
- 提问者网友：浩歌待明月
- 2021-11-23 05:53
一道关于广义逆矩阵的证明题
最佳答案
- 五星知识达人网友：几近狂妄
- 2021-11-23 06:27
需要几个工具：
1. 2-范数和奇异值的关系
2. 子矩阵的2-范数不超过原矩阵的2-范数
3. 最佳低秩逼近和奇异值的关系(Eckart-Young定理)
首先，||A^+||_2 = σ_min(A)^{-1}，||A_1^{-1}||_2 = σ_min(A_1)^{-1}
然后用Eckart-young定理，σ_min(A) = min_{rank(B)<=n-1} ||A-B||_2，即2-范数下的最佳秩n-1逼近的误差
把B按A相同的方式分块成B=[B_1,B_2]^T，那么rank(B_1)<=n-1，||A_1-B_1||_2 <= ||A-B|| = σ_min(A)，所以A_1的最佳秩n-1逼近误差不超过σ_min(A)
再用一次Eckart-young定理可知σ_min(A_1) <= σ_min(A)，取倒数就是结论
1. 2-范数和奇异值的关系
2. 子矩阵的2-范数不超过原矩阵的2-范数
3. 最佳低秩逼近和奇异值的关系(Eckart-Young定理)
首先，||A^+||_2 = σ_min(A)^{-1}，||A_1^{-1}||_2 = σ_min(A_1)^{-1}
然后用Eckart-young定理，σ_min(A) = min_{rank(B)<=n-1} ||A-B||_2，即2-范数下的最佳秩n-1逼近的误差
把B按A相同的方式分块成B=[B_1,B_2]^T，那么rank(B_1)<=n-1，||A_1-B_1||_2 <= ||A-B|| = σ_min(A)，所以A_1的最佳秩n-1逼近误差不超过σ_min(A)
再用一次Eckart-young定理可知σ_min(A_1) <= σ_min(A)，取倒数就是结论
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