改进欧拉法和隐式梯形积分有区别吗

改进欧拉法和隐式梯形积分有区别吗

实际上，你会发现隐式Eule法和梯形法都是Theta法的例子，theta分别取了0和1/2。所以直接讨论Theta法。

如果你知道p阶方法（局部阶段误差）的概念，你会很轻易的算出，Theta法是二阶方法当且仅当theta=1/2。所以theta方法中精度最好的是梯形法。

但是有另一个问题就是算法的0稳定性，有一个关于线性多步法的定理告诉我们，k步法在k是奇数的时候k+1阶算法都是不稳定的。所以梯形方法不是零稳定的。但是另一方面，可以直接说明，隐式Euler法是0稳定的。

结合以上，在可以接受隐式方法的前提下，隐式法和梯形法都是可以选择的，看你想要稳定性还是要精度。

说回改进Euler法，实际上，这是预估校正方法的一种。
这是一种在不建议隐式方法情况的时候（因为你知道隐式方法要解非线性方程，所以尤其在方程组的情况，会极端坑爹），的一种代替方式。
其想法就是你说的先得到预估值（用一种显式方法）。然后再用另一种格式校正。
因为预估校正方法的精度和预、校的精度都有关，所以我们希望尽量两者的精度都比较高。
所以这里我们采取了梯形格式作为校正格式。
可以证明，改进Euler法，是二阶方法，有效的改进了theta方法解方程组的问题和精度的问题。因为你知道显式欧拉法是一阶的，比较坑。
稳定性的问题，不记得了。（一个纯数狗被迫学了一门计算课考完就忘了，这还是临时翻书看的。）

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