函数y=f（x）与y=g（x）有相同的定义域，且都不是常数函数，对定义域中任意x，有f（x）+f（-x）=0，g（x

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解决时间 2021-01-27 17:20

提问者网友：疯孩纸
2021-01-27 01:47

函数y=f（x）与y=g（x）有相同的定义域，且都不是常数函数，对定义域中任意x，有f（x）+f（-x）=0，g（x）g（-x）=1，且x≠0，g（x）≠1，则F（x）=2f(x)g(x?1+f（x）（　　）A．是奇函数但不是偶函数B．是偶函数但不是奇函数C．既是奇函数又是偶函数D．既不是奇函数也不是偶函数

最佳答案

五星知识达人网友：煞尾
2021-01-27 03:08

由条件f（-x）=-f（x），g（x）g（-x）=1，F（x）=
2f(x)
g(x)?1 +f（x）得：
F（-x）=
2f(?x)
g(?x)?1 +f（-x）
=
?2f(x)

1
g(x) ?1 ?f(x)=
?2f(x)?g(x)
1?g(x) ?f(x)
=
?2f(x)?g(x)?f(x)+f(x)?g(x)
1?g(x)
=
?f(x)?g(x)?f(x)
1?g(x)
=
f(x)?g(x)+f(x)
g(x)?1 =F（x），
故F（x）=
2f(x)
g(x?1 +f（x）为偶函数，
故选B．

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1楼网友：英雄的欲望
2021-01-27 03:34

题目写的有问题，如果是 2f(x)/g(x) - 1 ，则 选 d . 可以用特例函数代入，比如让 f(x) = x , g(x) = 2^x , 此时，
f(x) = 2x / (2^x) - 1 + x 

如果是 2f(x)/(g(x)-1), 则选 b .
f(x) = f(x) [g(x)+1]/[g(x)-1] , f(x) 是奇函数。 
[g(x)+1]/[g(x)-1] = [g(x)+g(x)g(-x)]/[g(x)-g(x)g(-x)] = 
[1 + g(-x)]/[1 - g(-x)] = -[g(-x)+1]/[g(-x)-1] , 是奇函数。
两个奇函数相乘是偶函数。所以，f(x) 是偶函数.

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