f[x]=[a/2+1/8]X²—20X+500在x∈[0,120]上恒大于0，求a的取值范围[用导数的知识解答]

f[x]=[a/2+1/8]X²—20X+500在x∈[0,120]上恒大于0，求a的取值范围[用导数的知识解答]

原题是:f(x)=(a/2+1/8)x²-20x+500在x∈[0,120]上恒大于0,求a的取值范围(用导数的知识解答).

f(0)=500>0
f(x)=(a/2+1/8)x²-20x+500在x∈[0,120]上恒大于0
(a/2+1/8)x²-20x+500>0在x∈(0,120]上恒成立
(1/1000)(a+1/4)>1/(25x)-(1/x²)在x∈(0,120]上恒成立
设t=1/x,(t≥1/120)
(1/1000)(a+1/4)>-t²+(1/25)t在t∈[1/120,+∞)上恒成立
设g(t)=-t²+(1/25)t
g'(t)=-2t+(1/25)=-2(t-1/50)
t∈[1/120,1/50),g'(t)>0,g(t)在其上单增,
t∈(1/50,+∞),g'(t)<0,g(t)在其上单减
g'(1/50)=0,g(t)在t=1/50处取极大值也是最大值g(1/50)=1/2500
a可取:(1/1000)(a+1/4)>1/2500
解得 a>3/20
所以a的取值范围是 a>3/20

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