设m是大于1的整数,(a,m)=1,证明:a的欧拉函数值m次方同余1(modm).

设m是大于1的整数,(a,m)=1,证明:a的欧拉函数值m次方同余1(modm).

AAAAAA题：正整数a,m,(a,m)=1,　证明:a^φ(m)== 1 modm.BBB数论术语参考：双等号==为方便打字而引入,用以取代三线等号≡,可用作同余关系符号.最大公约数gcd(a,m),有时简记作(a,m)：a,m二者的最大公约数,最大公因数,最大公因子.为防混淆,有资料写作gcd(a,m)或gcf(a,m),英文全文为great common divisor或great common factor.既约⊥,a⊥m,a与m既约,不可约,互质,互素：既约,或称不可约,或称互质,或称互素,a,m既约,记作a⊥m或(a,m)=1即a,m二者的最大公约数为1,已经约去公因子到不可再约了.剩余类,同余类：集合 {a+mk,k为任意整数} 称为m的a类剩余类,其中各元素对于模m是同余的,在同余意义上是等价的,故也称为同余类,同时,任何一个元素均可作全部元素之代表,任何一个元素称为剩余类的代表元,代表数,或代表.既约剩余类,不可约剩余类,素剩余类：集合 {a+mk,k为任意整数,a与m互质} 称为m的a类既约剩余类,或称不可约素剩余类,或称素剩余类既约剩余系,素剩余系,简化剩余系,缩剩余系,缩系,简化系Z_(m)：以不大于m且与m互质的正整数为代表元的剩余类构成的系列,是一种特殊的集合(系列型集合).既约剩余系代表集在既约剩余系的每个剩余类中各取一个代表元所构成的集合.特别注意,在同余意义（同余等价性）上,将一个剩余系用其中一个代表数全权代表,此时,既约剩余系代表集与既约剩余系二者不必区分.最小既约剩余代表集z_(m)：不大于m且与m互质的正整数构成的集合.φ(m),即欧拉函数,我称之为m的既约剩余计数函数,或m的素剩余计数函数,或m的缩系计数函数.是不大于m且与m互质的正整数的个数之计数.我称之为m的既约剩余计数函数,或m的素剩余计数函数,或m的缩系计数函数.因为欧拉是大数学家,也是大物理学家,命名为欧拉函数、欧拉定理的太多了,给一下特定称呼不致于混淆.CCCCCC证明：首先证明一个引理.引入集合Z_m={x_1,x_2,...,x_φ(m)},其中各元素对于m两两不同余且各元素均与m互质,即Z_m={x_i； 其x(i)与m互质)其中各元素对于m两两不同余即是说,当ij时,x_ix_j mod m.对于Z_m可以有以下三种理解,均不妨碍下面的过程,提出来是为了方便朋友们全面地理解.以下视某某为某某就是把某某看作某某的意思.视Z_m为一个缩系,是一个集列型集合,其中x_i各是一个既约剩余类,以上这一点是从剩余类意义上来讲.视Z_m为一个数集,是由所有与m互质的数的代表所构成,视x_i为一个与m互质的数,用来作为一个既约剩余类的代表,以上这一点是从同余等价性上来.我们还可以定义Z_m={x_i； 其x(i)与m互质且x(i)为

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