高中数学的不等式问题

设a>b>c，且1/(a-b)+1/(b-c)≥m/(a-c)恒成立，则m的取值范围是？

因为a-c〉0，所以已知不等式等价于
   m<=(a-c)*[1/(a-b)+1/(b-c)]
    =[(a-b)+(b-c)]*[1/(a-b)+1/(b-c)]=1+1+[(a-b)/(b-c)]+[(b-c)/(a-b)]
    由恒成立的冲要条件得m不大于以上不等式右边的最小值，
因为a-b>0,b-c>0,所以1+1+[(a-b)/(b-c)]+[(b-c)/(a-b)]>=1+1+2*根号（1*1）=4 （当且仅当a-b=b-c时取等号）
   综上m小于或等于4

m小于或等于4 

解法2：设a=c+k1 ;  b=c+k2 ; 其中k1>k2>0. 上式可化为:1/(k1-k2)+1/k2>=m/k1恒成立. 即要求:k1^2/[(k1-k2)*k2>=m. 即需要不等式左边的最小值大于m即可. 由于分子k1^2是常量,(k1-k2)*k2是变量,现只需要(k1-k2)*k2取最大值,发现(k1-k2)+k2=k1,和一定,积有最大值,当且仅当k1-k2=k2=k1/2时取=. 所以k1^2/[(k1-k2)*k2的最小值为k1^2/[(k1/2)*(k1/2)]=4. 所以m的取值范围为m<=4.

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