数列an中,a1=2/9,an+1=SnSn+1 . (1)求证：｛1/Sn｝是等差数列；（2）求｛an｝的通项公式。

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解决时间 2021-02-13 00:32

提问者网友：那叫心脏的地方装的都是你
2021-02-12 02:11

过程。

最佳答案

五星知识达人网友：英雄的欲望
2021-02-12 02:31

（1）因为 Sn*S(n+1)=a(n+1)=S(n+1)-Sn ，
两边同除以 Sn*S(n+1) 得 1=1/Sn-1/S(n+1) ，
即 1/S(n+1)-1/Sn= -1 ，
因此｛1/Sn｝是首项为 1/S1=1/a1=9/2 ，公差为 -1 的等差数列。
（2）由（1）得 1/Sn=涪肌帝可郜玖佃雪顶磨9/2-(n-1)=11/2-n ，
所以 Sn=2/(11-2n) ，
因此，当 n=1 时，a1=2/9 ，
当 n>=2 时， an=S(n-1)*Sn=2/(13-2n)*2/(11-2n)=4/[(13-2n)*(11-2n)] ，
所以，数列｛an｝的通项公式为
an=｛2/9（n=1）；
｛4/[(13-2n)(11-2n)] （n>=2）。

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1楼网友：舍身薄凉客
2021-02-12 04:04

（1）因为 sn*s(n+1)=a(n+1)=s(n+1)-sn ，两边同除以 sn*s(n+1) 得 1=1/sn-1/s(n+1) ，即 1/s(n+1)-1/sn= -1 ，因此｛1/sn｝是首项为 1/s1=1/a1=9/2 ，公差为 -1 的等差数列。（2）由（1）得 1/sn=9/2-(n-1)=11/2-n ，所以 sn=2/(11-2n) ，因此，当 n=1 时，a1=2/9 ，当 n>=2 时， an=s(n-1)*sn=2/(13-2n)*2/(11-2n)=4/[(13-2n)*(11-2n)] ，所以，数列｛an｝的通项公式为 an=｛2/9（n=1）；｛4/[(13-2n)(11-2n)] （n>=2）。

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