设f（x）=ax2+bx+c（a≠0），若|f（0）|≤1，|f（1）|≤1，|f（-1）|≤1，试证明：对于任意-1≤x≤1，有|

设f（x）=ax2+bx+c（a≠0），若|f（0）|≤1，|f（1）|≤1，|f（-1）|≤1，试证明：对于任意-1≤x≤1，有|f(x)|≤54．

证明：∵f（0）=c，f（1）=a+b+c，f（-1）=a-b+c
∴a=
1
2 [f（1）+f（-1）]-f（0），b=
1
2 [f（1）-f（-1）]，c=f（0）
把它们代入到函数表达式里，再化简，得
|f（x）|=|
1
2 [（x2+x）f（1）]+
1
2 [（x2-x）f（-1）]+（1-x2）f（0）|≤|
x2+x
2 ||f（1）|+|
x2?x
2 ||f（-1）|+|1-x2||f（0）|
≤|
x2+x
2 |+|
x2?x
2 |+|1-x2|=|
x2+x
2 |+|
x2?x
2 |+1-x2，
当x≤0时，|
x2+x
2 |+|
x2?x
2 |+1-x2=-x2-x+1≤
5
4
当x＞0时，|
x2+x
2 |+|
x2?x
2 |+1-x2=-x2+x+1≤
5
4 ．
综上所述，|f(x)|≤
5
4 ．

详细解释：

|c|=|a+b+c|=|a-b+c|=1

|a+b+c|=|a-b+c|的式子两边平方:(|a+b+c)^2=(a-b+c)^2得出4b(a+c)=0得b=0

 c^2=(a+c)^2    得出c=-a/2<0   所以c=-1    a=2

y=2x^2-1

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