如图 ，已知直线 L过点A（0，1）和B（1，0），P是x轴正半轴上的动点，OP的垂直平分线交L于点Q，交x轴于点

如图 ，已知直线 L过点A（0，1）和B（1，0），P是x轴正半轴上的动点，OP的垂直平分线交L于点Q，交x轴于点

（1） ； （2）∵ ，∴Q点的横坐标为 ， ①当 ，即 时， ， ∴ ②当 时， ， ∴ ． 当 ，即 时， ， ∴当 时，S有最大值 ； （3）由OA=OB=1，所以 是等腰直角三角形，若在 上存在点C，使得 是以Q为直角顶点的等腰直角三角形，则PQ=QC，所以OQ=QC，又 轴，则C，O两点关于直线L对称，所以AC=OA=1，得C（1，1）． 下证 ．连CB，则四边形OABC是正方形． （i）当点P在线段OB上，Q在线段AS上 由对称性，得 ∴ ∴ （ii）当点P在线段OB的延长线上，Q在线段AB上时，如图-2，如图-3 ∵ ， ∴ （iii）当点Q与点B重合时，显然 ． 综合（i）（ii）（iii）， ． ∴在 上存在点 ，使得 是以Q为直角顶点的等腰直角三角形．

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