数学 求证一解析几何的定理。

由于二次曲线C：ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0表示圆的充要条件是：a=c≠0；b=0；d^2+e^2-4af>0，于是我们不难得到下面的定理： 设椭圆mx^2+ny^2=1与直线ax+by+c=0有两个不同的交点，则过这两点的圆系方程为：mx^2+ny^2-1+λ(ax+by+c)(ax-by+k)=0 缉伐光和叱古癸汰含咯.这里λ=(n-m)/(a^2+b^2)，k为任意实数。 请高手证明一下吧

首先, 由λ = (n-m)/(a²+b²), mx²+ny²-1+λ(ax+by+c)(ax-by+k)可展开为A(x²+y²)+Dx+Ey+F. 其中A = (na²+mb²)/(a²+b²) > 0. 直接验证D²+E²-4AF > 0较繁, 改用等价条件: A(x²+y²)+Dx+Ey+F = 0上至少有两个不同点. 而mx²+ny²-1+λ(ax+by+c)(ax-by+k) = 0显然经过mx²+ny² = 1与ax+by+c = 0的交点. 由已知, 二者有两个不同交点, 从而A(x²+y²)+Dx+Ey+F = 0上至少有两个不同点. 因此曲线族中都是过mx²+ny² = 1与ax+by+c = 0的交点的圆. 反之, 设A(x²+y²)+Dx+Ey+F = 0是过mx²+ny² = 1与ax+by+c = 0的交点的圆. 不妨设A = (na²+mb²)/(a²+b²), 则A(x²+y²)+Dx+Ey+F = mx²+ny²+λ(ax+by)(ax-by)+Dx+Ey+F = mx²+ny²-1+λ(ax+by+c)(ax-by)+D'x+E'y+F' (其中D' = D-acλ, E' = E+bcλ, F' = F+1). 将mx²+ny² = 1与ax+by+c = 0的交点坐标代入, 可知两个交点都满足D'x+E'y+F' = 0. 而过这两点的直线为ax+by+c = 0, 因此存在实数t使D'x+E'y+F' = t(ax+by+c). 由m ≠ n (椭圆), 有λ = (n-m)/(a缉伐光和叱古癸汰含咯78;+b²) ≠ 0, 可取k = t/λ. 则A(x²+y²)+Dx+Ey+F = mx²+ny²-1+λ(ax+by+c)(ax-by)+D'x+E'y+F' = mx²+ny²-1+λ(ax+by+c)(ax-by)+λk(ax+by+c) = mx²+ny²-1+λ(ax+by+c)(ax-by+k). 即过mx²+ny² = 1与ax+by+c = 0的交点的圆都在该曲线族中.

首先, 由λ = (n-m)/(a²+b²), mx²+ny²-1+λ(ax+by+c)(ax-by+k)可展开为a(x²+y²)+dx+ey+f. 其中a = (na²+mb²)/(a²+b²) > 0. 直接验证d²+e²-4af > 0较繁, 改用等价条件: a(x²+y²)+dx+ey+f = 0上至少有两个不同点. 而mx²+ny²-1+λ(ax+by+c)(ax-by+k) = 0显然经过mx²+ny² = 1与ax+by+c = 0的交点. 由已知, 二者有两个不同交点, 从而a(x²+y²)+dx+ey+f = 0上至少有两个不同点. 因此曲线族中都是过mx²+ny² = 1与ax+by+c = 0的交点的圆. 反之, 设a(x²+y²)+dx+ey+f = 0是过mx²+ny² = 1与ax+by+c = 0的交点的圆. 不妨设a = (na²+mb²)/(a²+b²), 则a(x²+y²)+dx+ey+f = mx²+ny²+λ(ax+by)(ax-by)+dx+ey+f = mx²+ny²-1+λ(ax+by+c)(ax-by)+d'x+e'y+f' (其中d' = d-acλ, e' = e+bcλ, f' = f+1). 将mx²+ny² = 1与ax+by+c = 0的交点坐标代入, 可知两个交点都满足d'x+e'y+f' = 0. 而过这两点的直线为ax+by+c = 0, 因此存在实数t使d'x+e'y+f' = t(ax+by+c). 由m ≠ n (椭圆), 有λ = (n-m)/(a²+b²) ≠ 0, 可取k = t/λ. 则a(x²+y²)+dx+ey+f = mx²+ny²-1+λ(ax+by+c)(ax-by)+d'x+e'y+f' = mx²+ny²-1+λ(ax+by+c)(ax-by)+λk(ax+by+c) = mx²+ny²-1+λ(ax+by+c)(ax-by+k). 即过mx²+ny² = 1与ax+by+c = 0的交点的圆都在该曲线族中.

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