0.9循环的分数

越具体越好！！！我给高分。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。

事实上， 0.9999........这样的表示就有问题，有人声称那是省略了lim和趋于条件的简写,如果是这样这个根本不是什么值得说的问题了,不过应该没有这样的“默认”存在，至少不是普遍“默认”。 我问了1个学数学专业的朋友，他说“只能说0.999999..........的极限是1，不能说等于1”，看来没有这样的“默认”，他既然没有写极限号，那么就不是在问它的极限。不过后来，有了新的想法。

当然，也有不少人不认为是省略了lim和趋于条件的简写，也说等于1。

下面主要说说各种证明 0.9999........=1 的证法的问题。 不过最后要说的是真正关键问题——真正的“无穷”和趋于“无穷”

1。

1/3=0.333......

3 X 1/3 = 3 X 0.333......

所以 1= 0.9999........

显然，真正的问题就是 1/3本来就不等于0.333...... 循环小数原来来自除不尽， 但是无论多少位终究有“余数”，以前没有“无穷小”概念，所以这样记了。现在有“无穷小”概念，那么就应该注意到它们的“无穷小”差异。

2.

1和0.99999..........都是常量
它们的差当然是个常量 可以确定这个常量是无穷小 而能作为无穷小的常量只有0
所以1-0.99999.......=0
就是1=0.99999.......

显然问题在于 0.99999..........是不是常量? 按说0.9999999.......这个样子,在数轴上是从左边“无穷接近1”的点,怎么确定它的位置?如果说它就是1,那么“无穷接近”这个概念是白定了.所谓“左极限”“右极限”就是无稽之谈。龟兔悖论白说了,第2次数学危机白经历了.

“无穷大”我们知道是特殊的东西，不是确定的点，同样“无穷接近1”的2个点，同样是无法确定的。 0.9999999.......= 1-1/1000000....... 有1个“无穷小”的距离，“无穷小”的存在是它只能成为特殊的东西。

3。
标准解法：
令x=0.99999.........
显然x满足
x=0.9+0.1*x
解上面的方程，x=1
所以 0.99999.........=1

这个解法据说是小学生都会，如果是1个小学生做的，他确实聪明，而且看上去仿佛天衣无缝。不过其实问题很严重，x=0.9+0.1*x 按理说只有1个实数解，如果0.99999.........和1都是它的根，那么就应该相等了。

但是，如果说0.99999.........根本不是1个真正的数，那么它根本不能做方程的根，比如我们把“无穷大”代入方程，是什么结果？ “无穷大”=“无穷大” 不好说了。

“无穷大”不能做方程的根，好理解.那么为什么不是“无穷大”的 0.99999...也不行呢? 看看 0.99999...=1- 1/1000000... 那么 0.1 X 0.99999.........=1- 0.1/1000000...

0.1/1000000...算个什么?和 1/1000000...有区别吗?结果 0.1 X 0.99999...=1- 1/1000000... 后项没有变。显然这样含有“无穷小”的“数”，不符合一些代数运算律，比如乘法结合律，所以不能做方程的根。

x=0.9+0.1*x 确实只有1个实数解，就是1，没有什么 0.99999...

关键问题——真正的“无穷”

其实，上面的话都没有触及真正的关键问题。那就是：“真正的无穷”。

什么“极限”，它敢说它是计算“无穷”吗？不是，它只说是“趋于无穷”，那么如果所谓的 0.99999...意思是 “就是无穷多个9”，怎么办？？？？

虽然“极限”的概念解决了很多问题，但是在“无穷大”“无穷小”上仍然理智地声称是“趋于无穷（大、小）”，而不说“就是无穷”：能达到的话就不是“无穷”了。

微积分中的“无穷小”概念，也只是1个“趋于0”的函数，所以还能根据“趋于的速度”定义“高阶无穷小”“低阶无穷小”“同阶无穷小”“等价无穷小”这样的概念进行一些运算，和 1/10000.....（就是无穷多个0）这样的不知道算什么东西的“真正的无穷小”大不一样。

同样，“趋于无穷大”的函数，也可以进行一些计算，和平白的 10000......这样的不知道算什么东西的“真正的无穷大”大不一样（我大学数学老师的话：什么东西乘0都是0，但是无穷大不是东西）.

所以,没有什么真正的运算是能计算“真正的无穷”的问题,所以如果把 0.99999...理解为“就是无穷多个9”，只能说,谁也不知道是多少,当然也不知道是否等于 1 了.

不过,如果真遇到了事关“真正的无穷”的问题，我们人类难道就束手无策了？当然不是，我们可以用“定义”解决问题，反正谁也不知道是多少,现实也没有明确指向，那么我们反而就好定义了。

比如，无穷级数的和，定义“它的和就是它的极限”。

比如，2个无穷数集，元素数量是否相等？康德就先定义什么是“相等”，然后才解释这个问题。

可见，真遇到了事关“真正的无穷”的问题，原来一些仿佛已经固定的概念（比如“和”、“相等”）都需要重新特别进行“定义”，然后在定义的范围内解答问题。

同样，在某些情况下，可以定义 0.99999...（无穷多个9）=1，不过，这已经是定义而已了。同样，也可以定义它们不相等，看需要定。

先看0.1的循环分数 设x=0.1的循环 则10x=1.1的循环 相减9x=1 所以x=1/9 相应的0.9循环的分数就是1，或者说是1/1 其实从极限来讲，0.9循环无限趋近于1

0.9九循环就等于1。这实际上是一个极限过程。当然，如果你还只是初中生，不明白极限是什么，可以这样理解：0.9九循环等于0.3三循环乘以3，也就是1/3乘以3，就等于1。

其他的无限循环小数可以用数列和极限结合的方法化成分数，但0.9循环的这个问题就不用费神了，规定就是等于1.

0.9循环不能化成分数 是比 1小

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