已知数列{an}的前n项和Sn=aq^n+b(a不等于O,q是不等于O和1的常数)

已知数列{an}的前n项和Sn=aq^n+b(a不等于O,q是不等于O和1的常数)

证明：
1、先证充分性：若a+b=0
当n>=2时an=Sn-S(n-1)=(aq^n+b)-(aq^(n-1)+b)=a(q-1)q^(n-1)
因为a+b=0即b=-a
所以当n=1时a1=S1=aq+b=aq-a=a(1-a)适合an=a(q-1)q^(n-1)
所以{an}通项是an=a(q-1)q^(n-1)
于是an/a(n-1)=a(q-1)q^(n-1)/a(q-1)q^(n-2)=2
所以:数列{an}为等比数列
2、再证必要性：若:数列{an}为等比数列
由Sn=aq^n+b得
当n>=2时an=Sn-S(n-1)=(aq^n+b)-(aq^(n-1)+b)=a(q-1)q^(n-1)
当n=1时a1=S1=aq+b=aq-a=a(1-a)
因为数列{an}为等比数列
所以当n=1时a1=S1=aq+b要适合an=Sn-S(n-1)=a(q-1)q^(n-1)
即aq+b=a(q-1)q^(1-1)
即aq+b=a(q-1)
即a+b=0
于是命题得证。

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