关于高一数学指数函数性质的一道题.50分

设a＞0，f(x)=e^x/a+a/e^x是R上的偶函数，求a的值.

因为a>0

a=1

因为f(x)为偶函数，故有：f(x)=f(-x)。

则：e^x/a+a/e^x=e^-x/a+a/e^-x=1/ae^x+ae^x。则有(a-1/a)e^x+(1/a-a)/e^x=0。因为e^x不等于0。

所以化简可得：(a-1/a)(e^2x-1)=0。因为a>0故有(a^2-1)(e^2x-1)=0。

当e^2x-1=0时，即x=0时，a为任意实数。

而当x不等于0时,则有a^2-1=0而a>0。故a=1.

正一和负一

因为是偶函数，所以f(x)=f(-x)

化简得（e^x-1）（a^2-1)=0

所以当x=0时，a属于R

当x不等于0时，a^2=1

又a＞0,所以a=1

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