设有一高度为h（t）（t为时间）的雪堆在融化过程，其侧面满足方程z＝h(t)?2(x2+y2)h(t)（设长度单位为厘

设有一高度为h（t）（t为时间）的雪堆在融化过程，其侧面满足方程z＝h(t)?2(x2+y2)h(t)（设长度单位为厘米，时间单位为小时），已知体积减少的速率与侧面积成正比（比例系数为0.9），问高度为130（厘米）的雪堆全部融化需多少小时？

解答：解  （1）设t时刻雪堆的体积为V[h（t）]，侧面积为S[h（t）]（雪堆体积和侧面积首先是关于高度h的函数，而高度h又是关于时间t的函数）．
由“体积减少的速率与侧面积成正比（比例系数为0.9）”建立方程：
dv[h(t)]
dt ＝?0.9S[h(t)]…①
以下为了书写的简单，有些时候会将h（t）写成h．
（2）下面求V（h）和S（h）．
由z＝h?
2(x2+y2)
h 知，在t时刻雪球是一向下的旋转抛物面，且可以看成是由xoz面上的z＝h?
2x2
h 绕z轴旋转一周得到的，
于是
由旋转体体积公式得：V（h）=
∫ h
0
πx2(z)dz＝
π∫ h
0

h2?hz
2 dz＝
πh3
4
由旋转曲面的侧面积公式得：S（h）=2
π∫ h
0
x(z)



1+x′2(z) dz=
∫ h
0





h(h?z)
2 ?



1+
h
8(h?z) dz=
π



h
2
∫ h
0




9h?8z dz＝
13
12 πh2
∴将V（h）、S（h）代回方程①得：

dV
dt ＝
dV
dh ?
dh
dt ＝
3
4 πh2?
dh
dt ＝?0.9?
13
12 πh2
∴
dh
dt ＝?1.3
∴h（t）=C-1.3t
又C=h（0）=130
∴h（t）=130-1.3t
令h（t）=0，则t=100
因此，高度为130厘米的雪堆全部融化所需时间为100小时．

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