如图,二次函数y=x的平方+bx+c的图像顶点在x轴上,与y轴交与点Q,过点Q的直线y=2x+m与x轴交于点A,与这个二

如图,二次函数y=x的平方+bx+c的图像顶点在x轴上,与y轴交与点Q,过点Q的直线y=2x+m与x轴交于点A,与这个二次
数的图像交与另一个点B.若三角形BPQ的面积等于3倍三角形APQ的面积,求这个二次函数的解析式

依题意Q(0,m),代入抛物线得,c=m
因为三角形BPQ的面积等于3倍三角形APQ的面积,
所以三角形ABP的面积等于4倍三角形APQ的面积,
而三角形ABP和三角形APQ是同底三角形,
所以点B在纵坐标为4m,
将4m代入到y=2x+m,得x=3m/2,
所以B(3m/2,4m),代入到抛物线y=x^2+bx+c,得,
9m^2/4+3mb/2+m=4m,
整理:得,
m=(4-2b)/3,
又图像顶点在x轴上,所以判别式=0,
即b^2-4ac=0,
整理,b^2-4m=0,将m=(4-2b)/3代入得,
3b^2+8b-16=0,
(3m-4)(m+4)=0,
所以m1=4/3,m2=-4
因为b^2=4m≥0,
所以m≥0,
所以m=c=4/3,b=±4√3/3 (因对称轴>0,b取负)
所以y=x^2-4√3/3+4/3

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