证明实二次型f=x∧ΤAx为正定的充分必要条件是:存在可逆矩阵U，使A=U∧ΤU.
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解决时间 2021-04-06 16:04
- 提问者网友：杀手的诗
- 2021-04-05 23:25
证明实二次型f=x∧ΤAx为正定的充分必要条件是:存在可逆矩阵U，使A=U∧ΤU.
最佳答案
- 五星知识达人网友：一把行者刀
- 2021-04-05 23:57
首先证明充分性：由于 存在可逆矩阵U，使A=U∧ΤU，A与单位矩阵合同，所以A正定；
再证明必要性：由于 A是正定矩阵，一定可以表示成 一个可逆矩阵的转置和A的特征值 和 可逆矩阵的乘积的形式，因为A正定，A的特征值都大于零，所以可开平方，把A表示成对角线是它的特征值开方 的乘积的形式，令前面两个矩阵为U 即可。
再证明必要性：由于 A是正定矩阵，一定可以表示成 一个可逆矩阵的转置和A的特征值 和 可逆矩阵的乘积的形式，因为A正定，A的特征值都大于零，所以可开平方，把A表示成对角线是它的特征值开方 的乘积的形式，令前面两个矩阵为U 即可。
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