如何证明（1+1/n)^(n+1)单调递减？
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解决时间 2021-02-26 07:11
- 提问者网友：饥饿走向夜
- 2021-02-25 23:33
如何证明（1+1/n)^(n+1)单调递减？
最佳答案
- 五星知识达人网友：话散在刀尖上
- 2021-02-26 00:13
设 y=（1+1/n)^(n+1)
所以 lny=(n+1)[ln(n+1)-ln] 两边求导
y'/y=ln(n+1)-ln+(n+1)[1/(n+1)-1/n]
y'=y*[ln[(n+1)/n]-1/n] ①
又设 g(x)=ln(1+x)-x
g'(x)=1/(1+x)-1 当x=0时有极值
g"(0)=-1<0 g（0）=0是极大值
所以ln[(n+1)/n]-1/n]=g（1/n）<g(0)=0
所以 ①y'<0
所以 y=（1+1/n)^(n+1)单调递减？
所以 lny=(n+1)[ln(n+1)-ln] 两边求导
y'/y=ln(n+1)-ln+(n+1)[1/(n+1)-1/n]
y'=y*[ln[(n+1)/n]-1/n] ①
又设 g(x)=ln(1+x)-x
g'(x)=1/(1+x)-1 当x=0时有极值
g"(0)=-1<0 g（0）=0是极大值
所以ln[(n+1)/n]-1/n]=g（1/n）<g(0)=0
所以 ①y'<0
所以 y=（1+1/n)^(n+1)单调递减？
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