当x趋向0时，lim(((a^x+b^x+c^x)/3)^（1/x）)等于多少？

当x趋向0时，lim(((a^x+b^x+c^x)/3)^（1/x）)等于多少？

纠正楼上
lim(((a^x+b^x+c^x)/3)^(1/x))=lim(exp(ln((a^x+b^x+c^x)/3)/x))
(洛必达法则)
=lim(exp((3/(a^x+b^x+c^x))*f'(x))
其中f'(x)=((a^x+b^x+c^x)/3)'=((exp(x*ln(a))+exp(x*ln(b))+exp(x*ln(c)))/3)'
=(ln(a)*a^x+ln(b)*b^x+ln(c)*c^x)/3
所以lim(((a^x+b^x+c^x)/3)^(1/x))=lim(exp((3/(a^x+b^x+c^x))*f'(x))
=lim(exp((ln(a)*a^x+ln(b)*b^x+ln(c)*c^x)/(a^x+b^x+c^x)))
当x趋近于0时
上式=lim(exp((ln(a)+ln(b)+ln(c))/3))=a*b*c/exp(3)

争议因为a^x+b^x+c^x-->3+所以 =3+高阶无穷小量x /3=1+x lim（1+x)^(1/x)=e

lim(((a^x+b^x+c^x)/3)^(1/x)) =lime^(ln(((a^x+b^x+c^x)/3)^(1/x)) =lime^[ln((a^x+b^x+c^x)/3)/x]（这里利用了对数的性质，如果不明白的，可以来问我） =e^lim[3/(a^x+b^x+c^x)×(a^x+b^x+c^x)']（极限的性质，这样的情况就可以把极限符号提到前面，还有就是ln函数的求导法则） =e^lim[3/(a^x+b^x+c^x)×(a^xlna+b^xlnb+c^xlnc)] =e^(lna+lnb+lnc)（极限符号里面直接代入x=0即可，若有不懂，可以找我） 这就是最终结果

令k=lim(x→0)[(a^x+b^x+c^x)/3]^(1/x) 则lnk=lim(x→0)[ln(a^x+b^x+c^x)-ln3]/x ∵符合0/0的形式

∴由洛必达法则，得：

lnk=lim(x→0)(a^xlna+b^xlnb+c^xlnc)/(a^x+b^x+c^x)=ln(abc)/3 ∴lim(x→0)[(a^x+b^x+c^x)/3]^(1/x)=k=³√(abc)

当x趋向0时，1/x不能以1来计算

1 结果是什么，还没有想到怎么求，但是很明显，几乎所有的答案都有问题。做一个假设 a=b=c， 那么lim(((a^x+b^x+c^x)/3)^（1/x）)=a=b=c， 现在所有的答案都不符合这个结论。 按照 “学夫子 网友”回答： =lime^[ln((a^x+b^x+c^x)/3)/x] =e^lim[3/(a^x+b^x+c^x)×（(a^x+b^x+c^x)/3)'] =e^lim[3/(a^x+b^x+c^x)×((a^xlna+b^xlnb+c^xlnc)/3)] 然后x=0，代入； =e^((3/3)X((lna+lnb+lnc)/3)) =e^((lna+inb+lnc)/3) =(abc)^(1/3) 另外：e^((lna+inb+lnc)/3) ！=abc/(e^3) 此时满足以上特例情况！

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