已知数列{an}满足a1+2a2+22a3+…+2n?1an＝n2，n∈N*．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=（2n-1）an

已知数列{an}满足a1+2a2+22a3+…+2n?1an＝n2，n∈N*．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=（2n-1）an，求数列{bn}的前n项和Sn．

（1）∵a1+2a2+22a3+…+2n?1an＝
n
2 ，①
∴当n≥2时，a1+2a2+22a3+…+2n?2an?1＝
n?1
2 ，②
①-②得，2n?1an＝
1
2 ，∴an＝
1
2n (n≥2)，③
又∵a1＝
1
2 也适合③式，∴an＝
1
2n (n∈N*)．
（2）由（1）知bn＝(2n?1)?
1
2n ，∴Sn＝1?
1
2 +3?
1
22 +5?
1
23 +…+(2n?1)?
1
2n ，④

1
2 Sn＝1?
1
22 +3?
1
23 +5?
1
24 +…+(2n?1)?
1
2n+1 ，⑤
④-⑤得，
1
2 Sn＝
1
2 +2(
1
22 +
1
23 +
1
24 +…+
1
2n )?(2n?1)?
1
2n+1 ＝
1
2 +2?

1
4 (1?
1
2n?1 )
1?
1
2 ?(2n?1)?
1
2n+1 =
1
2 +1?
1
2n?1 ?(2n?1)?
1
2n+1 ＝
3
2 ?
2n+3
2n+1 ，
∴Sn=3?
2n+3
2n ．

（1）解：∵数列{an}满足a1+2a2+22a3+…+2n?1an＝ n 2 ，n∈n*． ∴当n≥2时，a1+2a2+22a3+…+2n?2an?1= n?1 2 ． ∴2n?1an＝ 1 2 ，即an＝ 1 2n ． 当n=1时，a1＝ 1 2 也成立． 故an＝ 1 2n ．（n∈n*）． （2）证明：∵bn＝ 1 log 1 2 an = 1 log 1 2 1 2n = 1 n ，∴cn＝bnbn+1＝ 1 n(n+1) = 1 n ? 1 n+1 ． ∴sn=(1? 1 2 )+( 1 2 ? 1 3 )+…+( 1 n ? 1 n+1 )=1? 1 n+1 ＜1． ∴sn＜1．

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