命题关系的判断及集合的关系

若条件p以集合A的形式出现，结论q以集合B的形式出现：
当A为B的真子集时，A是B的 p是q的充分不必要条件、
当B为A的真子集时，A是B的p是q的必要不充分条件。

问题：这里的真子集能否为空集？
不懂请勿乱答谢谢、

理论上讲：可以。
　　首先希望你明白：集合是集合，逻辑是逻辑。它们确实有密切联系，但毕竟是两种理论。而它们之间的联系，也要通过一定的转换才能建立。

（1）逻辑：
①：p→q：p是q的【充分条件】（即：q是p的【必要条件】）；
②：p→q且¬（q→p）：p是q的【充分不必要条件】（q是p的【必要不充分条件】）；
（2）集合：
①：A≤B：A是B的【子集】；
②：A＜B：A是B的【真子集】；（我用不等号表示包含符号）
关系：
①：【A≤B】＜＝＞【x∈A→x∈B】＜＝＞【p→q】；（设p：x∈A；q：x∈B）
②：【A＜B】＜＝＞【［x∈A→x∈B］∧［存在x（x∈B∧¬（x∈A））］】
　　　　　　＜＝＞【［x∈A→x∈B］∧¬［x∈B→x∈A］】
　　　　　　＜＝＞【（p→q）∧¬（q→p）】；
　　可见：包含关系，与条件命题间的联系，是通过元素的从属关系建立的。这个关系可形象地描述为：大必要，小充分；
　　其实，如果将集合的包含关系对应为概念的种属关系，那么就可以将这些关系定义为直言命题；进而利用直言命题的对当方阵，就可以判断【充分条件】和【必要条件】了。

　　对于空集：∅，它是任何集合的子集，也就是“最小”的集合；所以，它所对应的就是“最充分”的充分条件。根据上面对p和q的定义，我们可以根据∅定义一个命题：
　　o：x∈∅；
很明显：命题o就是一个彻头彻尾的“假命题”。而根据条件命题的定义可知：

①：当条件（即前件）为假时，不论结论（即后件）真假如何，整个命题都是真命题；
所以，对任意命题p：
　　【o→p】总是真命题；
即：o是任何命题的【充分条件】；

　　我们还知道：∅是任何非空集合的【真子集】；而：
②：对于任意一个非空集合A，总有：
　　【存在x（x∈A∧¬（x∈∅））】是真命题；
所以，对于任意命题p：x∈A；总有：
　　【（o→p）∧¬（p→o）】是真命题；
即：o是任何“非空集合命题”的【充分不必要条件】；

　　当然，就像空集在集合论中的作用一样，命题o作为【充分条件】或【充分不必要条件】，已经没有什么现实意义了。它的意义只在于理论之中：它是理论中的边界值，是用来确定理论范围，使理论具备完备性的。

1)最好的解题思路就是画出图形了，韦恩图 2） sinα=0.5是sinα=0.5度的必要非充分条件 因为如果α=30度那么能推出sinα=0.5， 然而sinα=0.5 只能说明α=30°+k*360° 或者α=150°+k*360° 3）aub=u u是全集，a必然包含b的补集，否则并起来不会为全集 cub包含于a。 例如u={1,2,3,4} a={1,3} b={1,2,4} cua={2,4}包含于b cub={3}包含于a 两个都是对的 4）3≥ 2是真命题 3>=2其实就是3>2 u3=2 其中3>2是成立的，所以并起来还是真命题 5）f(x).g(x)=0 只要有一个是0就行 即f（x）=0或者g（x）=0 解集是aub

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