数学导数应用题求解

欲做一个容积为128π立方米的封口圆柱体容积，问圆柱体底圆半径r为多少时，圆柱体耗用的材料最少

解：设圆柱体高为h,耗用的材料的面积为s。则有s=2πr^2+2πrh,而体积V=πr^2*h. 把h带入s得 s=2πr^2+2πr*(128π/πr^2)=2πr^2+256π/r 对s求导得s'=4πr-256π/（r^2) 令s'=0解得：r=4,则在r=4时s取得最小值，故把r=4带入V得：h=8.最后分别把r=4和h=8带入s得：s=96π

解：设亮度为y，倾角为α，高杆灯距离地面为h，比例常数为k，k>0。

由已知得：y=ksinα/(r²+h²）且：sinα=h/√r²+h²

故：y=kh/(r²+h²)^（3/2）

求y对h的导数，并令y'等于0得：h=√2r/2

当h>√2r/2时，y'<0；当h<√2r/2时，y'>0

故：当h=√2r/2时，y取最大值。

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