如图，在△ABC中，AB=AC，AD和BE是高，它们相交于H点，且AE=BE.求证：AH=2BD

如图，在△ABC中，AB=AC，AD和BE是高，它们相交于H点，且AE=BE.求证：AH=2BD

证明
∵在△ABC中,AB=AC
∴△ABC是等腰三角形，∠ABC=∠ACB
∵AE=BE，且AE⊥BE
∴ABE是等腰直角三角形
∴∠BAE=∠ABE=45°
∴∠ABC=∠ACB=67.5°
∵AD平分∠BAC且平分BC
∴∠BAD=∠CAD=∠ABC-∠ABE=22.5°
∵∠AEB=∠BEC=90°
∵AE=BE
∴△AEH≌△BEC
∴AH=BC
∵D为中点
∴AH=2BD

∵ab=ac，∴△abc为等腰三角形∵ad是高∴∠adc=∠adb=90°，且bd=dc=1/2bc(等腰三角形三线合一）∵be是高∴∠bec=∠aeb=90°∵∠c ∠cad=90°且∠c cbe=90°∴∠ceb=∠cad(等量代换） 在△ahe与△bce中∠cad=cbe（已证）ae=be(已知）∠bec=∠aeb(已证）∴△ahe≌△bce(asa) ∴ah=bc∴bc=ah=2bd 你这图是怎么画的呀！手绘？ ∵ab=ac，且ad是高 ∴2bd=bc 又因为∠hbd=90-∠bhd ∠dae=90-∠eha ∵∠eha=∠bhd(对顶角相等） ∵bd是高 ∴∠bdc=∠bea=90 在三角形bce与△ahe中 有：be=ae（已知） ∠bec=∠bea(已证） ∠ebc=∠dae（已证） ∴三角形全等 ∴ah=bc ∵bc=2bd（已证） 所以ah=2bd

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