使用算术基本定理证明：根号5是无理数

使用算术基本定理证明：根号5是无理数

假设根号5=a/b .其中(a,b)=1，且a与b都是正整数.则a平方=b平方乘以5.易见b>1，否则b=1，，则根号5=a是一个整数，为假。
a平方等于5*b平方。改写成b平方等于(a/5)*a.因为b>1，因此b有素因子p，因此p整除a/5 或a，总之，p整除a，因此p同时整除a与b，这与(a,b)=1矛盾.

若√5是有理数
则√5=a/b（ab互质，且ab为正整数）
那么5=a^2/b^2
5b^2=a^2
所以a^2能被5整除
所以a是5的倍数
设a=5x
则5b^2=(5x)^2
5b^2=25x^2
b^2=5x^2
显然b也是五的倍数
与ab互质矛盾
所以
根号5是无理数追问题目要使用算术基本定理QvQ

假设 根号5是有理数,
设 根号5=p/q,
其中,p,q是正的自然数且互质.
则由p^2=5q^2知
p^2可以被5整除,所以p也能被5 整除（反证法可以证得：如果p不能被5整除,则p^2也不能被5整除,得证）
设p=5*n(n是正的自然数)
则5q^2=p^2=25n^2
这样 q^2也能被5整除,q也能被5整除
因此p与q有公因子5.
这与p,q互质相矛盾
从而 证明了根号5为无理数.

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