过椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左顶点A作斜率为1的直线，与椭圆的另一个交点为M,与y轴的交点为B.若AM=MB，则该椭圆的离心率为为？
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解决时间 2021-05-06 00:58
- 提问者网友：留有余香
- 2021-05-05 03:58
过椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左顶点A作斜率为1的直线，与椭圆的另一个交点为M,与y轴的交点为B.若AM=MB，则该椭圆的离心率为为？
最佳答案
- 五星知识达人网友：長槍戰八方
- 2021-05-05 05:20
首先，求出直线和椭圆的两个交点坐标，分别为（-a ，0），（c ，b^2/a）；
其次，按照斜率公式K=(y1-y2)/(x1-x2),套用公式后得： 1/3<(0-b^2/a)/(-a-c)<1/2 ;化简后得：1/3<b^2/a(a+c)<1/2；
再次:把b^2=a^2-c^2 ,c=ae 分别代入上式，化简后得:1/3<1-e<1/2 ;
最后，结果为离心率的取值范围为：1/2<e<2/3 ;
其次，按照斜率公式K=(y1-y2)/(x1-x2),套用公式后得： 1/3<(0-b^2/a)/(-a-c)<1/2 ;化简后得：1/3<b^2/a(a+c)<1/2；
再次:把b^2=a^2-c^2 ,c=ae 分别代入上式，化简后得:1/3<1-e<1/2 ;
最后，结果为离心率的取值范围为：1/2<e<2/3 ;
全部回答
- 1楼网友：老鼠爱大米
- 2021-05-05 06:54
A点坐标为[-a，0] 又已知直线的斜率为1
则有B点坐标为 [0 ，a]
又因为AM=MB
所以M为AB中点 则有 M点坐标 [-a/2，a/2]
代入x^2/a^2+y^2/b^2=1中 整理
得 a^2=3b^2 又 a^2=b^2+c^2
则有3c^2=2a^2
所以e=根号6/3
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