已知实数x、y、z满足x²+4y²+9z²=a,(a>0),且x+y+z的最大值是7，则a=

已知实数x、y、z满足x²+4y²+9z²=a,(a>0),且x+y+z的最大值是7，则a=

根据柯西不等式，[x²+(2y)²+(3z)²][1+(1/2)²+(1/3)²]>=(x+y+z)²
等价于(49/36)*(x²+4y²+9z²)>=(x+y+z)²
等价于(49/36)*a>=(x+y+z)²
因此-(7/6)*√a <= x+y+z <= (7/6)*√a
又因为x+y+z的最大值是7，因此(7/6)*√a = 7，得a=36

这种不等式需要用到柯西不等式： （x^2+4y^2+9z^2）（1＋1/4+1/9)≥（x+y+z)^2 左边=49/36a 故x+y+z的最大值为7/6a 由题意，7a/6＝1 故a＝6/7

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