求证1/2²+1/3²＋1/4²+........+1/n²＜1
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解决时间 2021-12-29 19:00
- 提问者网友：温旧梦泪无声
- 2021-12-29 12:23
求证1/2²+1/3²＋1/4²+........+1/n²＜1
最佳答案
- 五星知识达人网友：深街酒徒
- 2021-12-29 12:28
1/2^2<1/(1*2) =1-1/2
1/3^2<1/(2*3)=1/2-1/3
.......
1/n^2<1/(n(n-1))=1/(n-1)-1/n
所以
1/2^2+1/3^2+1/4^2+.....+1/n^2
<1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+.....+1/(n-1)-1/n
=1-1/n<1
1/3^2<1/(2*3)=1/2-1/3
.......
1/n^2<1/(n(n-1))=1/(n-1)-1/n
所以
1/2^2+1/3^2+1/4^2+.....+1/n^2
<1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+.....+1/(n-1)-1/n
=1-1/n<1
全部回答
- 1楼网友：迷人又混蛋
- 2021-12-29 13:05
1/n(n+1)(n+2)=(1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2))*1/2
所以,
1/1*2*3 +1/2*3*4+...+1/n(n+1)(n+2)
=[(1/1*2-1/2*3)+(1/2*3-1/3*4)+...+(1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)]*1/2
=(1/2-1/(n+1)(n+2))*1/2
<1/2*1/2=1/4
所以,
1/1*2*3 +1/2*3*4+...+1/n(n+1)(n+2)＜1/4
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