用数学归纳法证明：12+22+32+…+n2＝n(n+1)(2n+1)6

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解决时间 2021-02-13 20:16

提问者网友：做自己de王妃
2021-02-13 00:43

用数学归纳法证明：12+22+32+…+n2＝
n(n+1)(2n+1)
6 ．

最佳答案

五星知识达人网友：人類模型
2021-02-13 02:07

证明：（1）当n=1时，左边=12=1，右边=
1×2×3
6 ＝1，等式成立．（4分）
（2）假设当n=k时，等式成立，即12+22+32+…+k2＝
k(k+1)(2k+1)
6 （6分）
那么，当n=k+1时，

12+22+32+…+k2+(k+1)2
＝
k(k+1)(2k+1)
6 +(k+1)2
＝
k(k+1)(2k+1)+6(k+1)2
6
＝
(k+1)(2k2+7k+6)
6
＝
(k+1)(k+2)(2k+3)
6
＝
(k+1)[(k+1)+1][2(k+1)+1]
6
这就是说，当n=k+1时等式也成立．（10分）
根据（1）和（2），可知等式对任何n∈N*都成立．（12分）

全部回答

1楼网友：时间的尘埃
2021-02-13 03:26

当n=1时0，左边=1^2=1，右边=1/6*1*2*3=1，成立设当n=k时成立，即1^2+2^2+3^2+.....+k^2=1/6k(k+1)(2k+1) 当n=k+1时，1^2+2^2+3^2+.....+k^2+(k+1)^2=1/6k(k+1)(2k+1)+(k+1)^2 =1/6(k+1)[k(2k+1)+6(k+1)] =1/6(k+1)(2k^2+7k+6) =1/6(k+1)(k+2)(2k+3) =1/6(k+1)(k+1+1)[2(k+1)+1] 成立所以 1^2+2^2+3^2+...+n^2=1/6n(n+1)(2n+1)

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